$a$ を定数とする。放物線 $y = x^2 - (4a+2)x + 2a + 3$ の頂点の座標を $a$ を用いて表し、頂点の軌跡を求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。放物線 $y = x^2 - (4a+2)x + 2a + 3$ の頂点の座標を $a$ を用いて表し、頂点の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

与えられた放物線の式を平方完成し、頂点の座標を求める。

\begin{align*}

y &= x^2 - (4a+2)x + 2a + 3 \\

&= \left(x - \frac{4a+2}{2}\right)^2 - \left(\frac{4a+2}{2}\right)^2 + 2a + 3 \\

&= (x - (2a+1))^2 - (2a+1)^2 + 2a + 3 \\

&= (x - (2a+1))^2 - (4a^2 + 4a + 1) + 2a + 3 \\

&= (x - (2a+1))^2 - 4a^2 - 2a + 2

\end{align*}

したがって、頂点の座標は $(2a+1, -4a^2 - 2a + 2)$ となる。

頂点の座標を $(X, Y)$ とおくと、

$X = 2a+1$ より $a = \frac{X-1}{2}$ である。

これを $Y$ に代入すると、

\begin{align*}

Y &= -4\left(\frac{X-1}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{X-1}{2}\right) + 2 \\

&= -4\left(\frac{X^2 - 2X + 1}{4}\right) - (X-1) + 2 \\

&= -(X^2 - 2X + 1) - X + 1 + 2 \\

&= -X^2 + 2X - 1 - X + 3 \\

&= -X^2 + X + 2

\end{align*}

したがって、頂点の軌跡は $y = -x^2 + x + 2$ である。

3. 最終的な答え

頂点の座標は $(2a+1, -4a^2 - 2a + 2)$ であり、頂点の軌跡は $y = -x^2 + x + 2$ である。