(1) $x \geq 0$, $y \geq 0$ を満たす $x, y$ に対して、$x+y \leq \sqrt{5}$ ならば $x^2 + y^2 \leq 5$ が成り立つことを示せ。 (2) $x, y$ が $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x^2 + y^2 \leq 5$ を満たすとき、$2x + y$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $x \geq 0$, $y \geq 0$ を満たす $x, y$ に対して、$x+y \leq \sqrt{5}$ ならば $x^2 + y^2 \leq 5$ が成り立つことを示せ。

(2) $x, y$ が $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x^2 + y^2 \leq 5$ を満たすとき、$2x + y$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x+y \leq \sqrt{5}$ の両辺を2乗すると、

$(x+y)^2 \leq 5$

$x^2 + 2xy + y^2 \leq 5$

$x^2 + y^2 \leq 5 - 2xy$

$x \geq 0$, $y \geq 0$ より $2xy \geq 0$ であるから、$-2xy \leq 0$ となり、

$5 - 2xy \leq 5$

したがって、

$x^2 + y^2 \leq 5 - 2xy \leq 5$

よって、$x^2 + y^2 \leq 5$ が成り立つ。

(2)

$2x + y = k$ とおくと、$y = -2x + k$ となる。これを $x^2 + y^2 \leq 5$ に代入すると、

$x^2 + (-2x+k)^2 \leq 5$

$x^2 + 4x^2 - 4kx + k^2 \leq 5$

$5x^2 - 4kx + k^2 - 5 \leq 0$

この2次不等式が $x \geq 0$ で解を持つ条件を考える。

$5x^2 - 4kx + k^2 - 5 = 0$

の判別式を $D$ とすると、

$D = (-4k)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (k^2 - 5) = 16k^2 - 20k^2 + 100 = -4k^2 + 100$

$D \geq 0$ より、$-4k^2 + 100 \geq 0$

$4k^2 \leq 100$

$k^2 \leq 25$

$-5 \leq k \leq 5$

$y = -2x + k \geq 0$ より、$k \geq 2x \geq 0$ だから、$k \geq 0$

よって、$0 \leq k \leq 5$

$k$ が最大となるのは、$5x^2 - 4kx + k^2 - 5 = 0$ が重解を持つ時である。

$5x^2 - 4kx + k^2 - 5 = 0$ の解は $x = \frac{4k \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 5}$ であり、$D=0$ となるのは $k=5$ の時である。

$x = \frac{4 \cdot 5}{2 \cdot 5} = 2$

$y = -2x + k = -2 \cdot 2 + 5 = 1$

$x=2$, $y=1$ は $x \geq 0$, $y \geq 0$ および $x^2 + y^2 = 2^2 + 1^2 = 5 \leq 5$ を満たす。

したがって、$2x+y$ の最大値は $2 \cdot 2 + 1 = 5$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 \leq 5$ が成り立つ（証明終わり）。

(2) $2x+y$ の最大値は $5$ である。