与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ が対角化可能かどうかを判断し、可能であれば対角化を行う。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ が対角化可能かどうかを判断し、可能であれば対角化を行う。

2. 解き方の手順

ステップ1: 固有値を求める。

まず、行列 $A$ の特性方程式を計算する。特性方程式は $\det(A - \lambda I) = 0$ で与えられる。ここで、$I$ は単位行列であり、$\lambda$ は固有値を表す。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 6-\lambda & 2 & -2 \\ 2 & 3-\lambda & -1 \\ 2 & 2 & -\lambda \end{pmatrix}$

特性多項式を計算する:

$\det(A - \lambda I) = (6-\lambda)((3-\lambda)(-\lambda) - (-1)(2)) - 2(2(-\lambda) - (-1)(2)) + (-2)(2(2) - (3-\lambda)(2))$

$= (6-\lambda)(-3\lambda + \lambda^2 + 2) - 2(-2\lambda + 2) - 2(4 - 6 + 2\lambda)$

$= (6-\lambda)(\lambda^2 - 3\lambda + 2) - 2(-2\lambda + 2) - 2(2\lambda - 2)$

$= 6\lambda^2 - 18\lambda + 12 - \lambda^3 + 3\lambda^2 - 2\lambda + 4\lambda - 4 - 4\lambda + 4$

$= -\lambda^3 + 9\lambda^2 - 20\lambda + 12$

特性方程式は $-\lambda^3 + 9\lambda^2 - 20\lambda + 12 = 0$ となる。

$\lambda^3 - 9\lambda^2 + 20\lambda - 12 = 0$

この方程式を解く。試行錯誤により、$\lambda = 1$ が解であることがわかる。

$(1)^3 - 9(1)^2 + 20(1) - 12 = 1 - 9 + 20 - 12 = 0$

したがって、$(\lambda - 1)$ は因数である。多項式を $(\lambda - 1)$ で割ると、$\lambda^2 - 8\lambda + 12$ が得られる。

$\lambda^2 - 8\lambda + 12 = (\lambda - 2)(\lambda - 6)$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = 6$ である。

ステップ2: 固有ベクトルを求める。

各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

(1) $\lambda_1 = 1$ のとき:

$(A - I)v_1 = 0$

$\begin{pmatrix} 5 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$5x + 2y - 2z = 0$

$2x + 2y - z = 0$

$z = 2x + 2y$ を最初の式に代入すると、$5x + 2y - 2(2x + 2y) = 5x + 2y - 4x - 4y = x - 2y = 0$, つまり $x = 2y$。

$z = 2(2y) + 2y = 6y$.

固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}$。

(2) $\lambda_2 = 2$ のとき:

$(A - 2I)v_2 = 0$

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$4x + 2y - 2z = 0$

$2x + y - z = 0$

$2x + 2y - 2z = 0$

$z = 2x + y$.

$2x + 2y - 2(2x + y) = 0$, $2x + 2y - 4x - 2y = -2x = 0$, つまり $x = 0$.

$z = y$.

固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。

(3) $\lambda_3 = 6$ のとき:

$(A - 6I)v_3 = 0$

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 2 & -3 & -1 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2y - 2z = 0$

$2x - 3y - z = 0$

$2x + 2y - 6z = 0$

$y = z$

$2x - 3y - y = 0$, $2x - 4y = 0$, $x = 2y$

$2(2y) + 2y - 6y = 4y + 2y - 6y = 0$

固有ベクトルは $v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。

ステップ3: 対角化

3つの線形独立な固有ベクトルが得られたため、行列 $A$ は対角化可能である。

$P = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 6 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

対角化は $A = PDP^{-1}$ で与えられる。

3. 最終的な答え

行列Aは対角化可能であり、対角化は $A = PDP^{-1}$ で与えられる。ここで、

$P = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 6 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

$P^{-1}$は計算可能。