$\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$\sigma_y^2$ を求めよ。ここで、$i$ は虚数単位である。

1. 問題の内容

$\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$\sigma_y^2$ を求めよ。ここで、$i$ は虚数単位である。

2. 解き方の手順

$\sigma_y^2$ を計算するには、$\sigma_y$ と $\sigma_y$ の行列積を計算する必要がある。

$\sigma_y^2 = \sigma_y \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

行列積を計算すると、次のようになる。

$\sigma_y^2 = \begin{pmatrix} (0)(0) + (-i)(i) & (0)(-i) + (-i)(0) \\ (i)(0) + (0)(i) & (i)(-i) + (0)(0) \end{pmatrix}$

$\sigma_y^2 = \begin{pmatrix} 0 - i^2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & -i^2 + 0 \end{pmatrix}$

ここで、$i^2 = -1$ なので、

$\sigma_y^2 = \begin{pmatrix} -(-1) & 0 \\ 0 & -(-1) \end{pmatrix}$

$\sigma_y^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\sigma_y^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$