与えられた行列の行列式を計算する問題です。ここで、$a_0, a_1, ..., a_n$ と $x$ は実数です。与えられた行列は次の形をしています。 $\begin{bmatrix} a_0 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_1 & x & -1 & \cdots & 0 \\ a_2 & 0 & x & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & -1 \\ a_n & 0 & 0 & \cdots & x \end{bmatrix}$ 行列式の答えは、$x^n$ から始まり、 $x^{n-1}$、...と続く多項式の形式で表現されます。

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を計算する問題です。ここで、$a_0, a_1, ..., a_n$ と $x$ は実数です。与えられた行列は次の形をしています。

$\begin{bmatrix}

a_0 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\

a_1 & x & -1 & \cdots & 0 \\

a_2 & 0 & x & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & -1 \\

a_n & 0 & 0 & \cdots & x

\end{bmatrix}$

行列式の答えは、$x^n$ から始まり、 $x^{n-1}$、...と続く多項式の形式で表現されます。

2. 解き方の手順

この行列式を計算するために、余因子展開を使用します。まず、1列目で余因子展開を行います。すると、次のようになります。

$det = a_0 \begin{vmatrix} x & -1 & \cdots & 0 \\ 0 & x & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & -1 \\ 0 & 0 & \cdots & x \end{vmatrix} - a_1 \begin{vmatrix} -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & x & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & -1 \\ 0 & 0 & \cdots & x \end{vmatrix} + a_2 \begin{vmatrix} -1 & 0 & \cdots & 0 \\ x & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & -1 \\ 0 & 0 & \cdots & x \end{vmatrix} - ... + (-1)^n a_n \begin{vmatrix} -1 & 0 & \cdots & 0 \\ x & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & -1 \end{vmatrix}$

最初の行列式は対角成分がすべて $x$ であるような $(n \times n)$ の行列なので、その行列式は $x^n$ となります。

残りの行列式はすべて上三角行列です。

2番目の行列式は $(-1) x^{n-1}$ となります。

3番目の行列式は $(-1)(-1) x^{n-2} = x^{n-2}$ となります。

一般に、k番目の行列式は $(-1)^{k-1} x^{n-k+1}$ となります。

したがって、全体の行列式は次のようになります。

$det = a_0 x^n - a_1 (-1)x^{n-1} + a_2 x^{n-2} - a_3 (-1) x^{n-3} + \cdots + a_n (-1)^n$

$= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \cdots + a_n$

したがって、答えは $x^n + \frac{a_1}{a_0} x^{n-1} + ... + \frac{a_n}{a_0}$ となります。与えられた形式で答えを表現するために、$a_0 = 1$ と仮定します。

すると、答えは、$x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + ... + a_n$ となります。

3. 最終的な答え

$x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_n$