ベクトル $\begin{bmatrix} a \\ -9 \\ 7 \end{bmatrix}$ が、ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 3 \end{bmatrix}$ の線形結合で表されるとき、$a$ の値を求めます。つまり、定数 $c_1$ と $c_2$ が存在して、 $\begin{bmatrix} a \\ -9 \\ 7 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 3 \end{bmatrix}$ が成り立つときの $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\begin{bmatrix} a \\ -9 \\ 7 \end{bmatrix}$ が、ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 3 \end{bmatrix}$ の線形結合で表されるとき、$a$ の値を求めます。つまり、定数 $c_1$ と $c_2$ が存在して、

$\begin{bmatrix} a \\ -9 \\ 7 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 3 \end{bmatrix}$

が成り立つときの $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられたベクトル方程式を成分ごとに書き下します。

$\begin{cases}

a = c_1 - c_2 \\

-9 = 3c_1 - 3c_2 \\

7 = 4c_1 + 3c_2

\end{cases}$

2番目の式から $3c_1 - 3c_2 = -9$ なので、$c_1 - c_2 = -3$ が得られます。

したがって、

$c_1 - c_2 = -3$

これを1番目の式と見比べると、 $a = c_1 - c_2$ なので、

$a = -3$

次に、$c_1$ と $c_2$ の値を求め、3番目の式を満たすか確認します。

$c_1 - c_2 = -3$ より、 $c_1 = c_2 - 3$ となります。

これを $7 = 4c_1 + 3c_2$ に代入すると、

$7 = 4(c_2 - 3) + 3c_2$

$7 = 4c_2 - 12 + 3c_2$

$19 = 7c_2$

$c_2 = \frac{19}{7}$

$c_1 = c_2 - 3 = \frac{19}{7} - 3 = \frac{19 - 21}{7} = -\frac{2}{7}$

3番目の式を確認します。

$4c_1 + 3c_2 = 4\left(-\frac{2}{7}\right) + 3\left(\frac{19}{7}\right) = -\frac{8}{7} + \frac{57}{7} = \frac{49}{7} = 7$

これは3番目の式を満たしています。

$c_1 - c_2 = -\frac{2}{7} - \frac{19}{7} = -\frac{21}{7} = -3$

これは1番目の式 $a = c_1 - c_2$ を満たしています。

3. 最終的な答え

$a = -3$