ベクトル $\mathbf{u_1}, \mathbf{u_2}, \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \mathbf{w}$ が与えられた方程式を満たすとき、$\mathbf{w}$ を $\mathbf{u_1}$ と $\mathbf{u_2}$ の線形結合として表現せよ。具体的には、$\mathbf{w} = a \mathbf{u_1} + b \mathbf{u_2}$ となる $a$ と $b$ を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{u_1}, \mathbf{u_2}, \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \mathbf{w}$ が与えられた方程式を満たすとき、$\mathbf{w}$ を $\mathbf{u_1}$ と $\mathbf{u_2}$ の線形結合として表現せよ。具体的には、$\mathbf{w} = a \mathbf{u_1} + b \mathbf{u_2}$ となる $a$ と $b$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式は次の通りである。

$\mathbf{w} = 8\mathbf{v_1} - 3\mathbf{v_2}$

$\mathbf{v_1} = -7\mathbf{u_1} - 2\mathbf{u_2}$

$\mathbf{v_2} = -7\mathbf{u_1} + 7\mathbf{u_2}$

$\mathbf{v_1}$ と $\mathbf{v_2}$ を $\mathbf{w}$ の式に代入する。

$\mathbf{w} = 8(-7\mathbf{u_1} - 2\mathbf{u_2}) - 3(-7\mathbf{u_1} + 7\mathbf{u_2})$

$\mathbf{w}$ を展開して整理する。

$\mathbf{w} = -56\mathbf{u_1} - 16\mathbf{u_2} + 21\mathbf{u_1} - 21\mathbf{u_2}$

$\mathbf{w} = (-56 + 21)\mathbf{u_1} + (-16 - 21)\mathbf{u_2}$

$\mathbf{w} = -35\mathbf{u_1} - 37\mathbf{u_2}$

したがって、$\mathbf{w}$ は $\mathbf{u_1}$ と $\mathbf{u_2}$ の線形結合として、以下のように表される。

$\mathbf{w} = -35 \mathbf{u_1} - 37 \mathbf{u_2}$

3. 最終的な答え

$\mathbf{w} = -35\ \mathbf{u_1} + (-37)\ \mathbf{u_2}$