(1) 2次方程式 $x^2 + (2a-1)x + a^2 + 1 = 0$ が重解を持つような定数 $a$ の値を求め、そのときの重解を求めよ。 (2) 不等式 $7x - 16 < x^2 - 3x + 7 \le 8x - 11$ を満たすすべての整数の和を求めよ。 (3) 2次方程式 $x^2 - 8ax + 3 - 2a = 0$ と $2x^2 + x + 5a^2 = 0$ のどちらも実数解をもたないような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 (4) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ の部分集合 $A, B$ について、$A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7\}$, $A \cap B = \{3, 5\}$, $\overline{A} \cap B = \{7\}$ であるとき、集合 $A \cap \overline{B}$ と $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 + (2a-1)x + a^2 + 1 = 0$ が重解を持つような定数 $a$ の値を求め、そのときの重解を求めよ。

(2) 不等式 $7x - 16 < x^2 - 3x + 7 \le 8x - 11$ を満たすすべての整数の和を求めよ。

(3) 2次方程式 $x^2 - 8ax + 3 - 2a = 0$ と $2x^2 + x + 5a^2 = 0$ のどちらも実数解をもたないような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

(4) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ の部分集合 $A, B$ について、$A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7\}$, $A \cap B = \{3, 5\}$, $\overline{A} \cap B = \{7\}$ であるとき、集合 $A \cap \overline{B}$ と $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

2次方程式 $x^2 + (2a-1)x + a^2 + 1 = 0$ が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ である。

$D = (2a-1)^2 - 4(a^2 + 1) = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 - 4 = -4a - 3$

$-4a - 3 = 0$ より $a = -\frac{3}{4}$

このとき、方程式は $x^2 + (2(-\frac{3}{4}) - 1)x + (-\frac{3}{4})^2 + 1 = 0$

$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = 0$

$(x - \frac{5}{4})^2 = 0$

$x = \frac{5}{4}$

(2)

$7x - 16 < x^2 - 3x + 7 \le 8x - 11$

まず、$7x - 16 < x^2 - 3x + 7$ より

$0 < x^2 - 10x + 23$

$x^2 - 10x + 23 = 0$ の解は $x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 92}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{8}}{2} = 5 \pm \sqrt{2}$

$x < 5 - \sqrt{2}$ または $x > 5 + \sqrt{2}$

$5 - \sqrt{2} \approx 5 - 1.4 = 3.6$, $5 + \sqrt{2} \approx 5 + 1.4 = 6.4$

次に、$x^2 - 3x + 7 \le 8x - 11$ より

$x^2 - 11x + 18 \le 0$

$(x - 2)(x - 9) \le 0$

$2 \le x \le 9$

よって、$2 \le x < 5 - \sqrt{2}$ または $5 + \sqrt{2} < x \le 9$

$2 \le x < 3.6$ または $6.4 < x \le 9$

整数 $x$ は $2, 3$ と $7, 8, 9$

和は $2 + 3 + 7 + 8 + 9 = 29$

(3)

$x^2 - 8ax + 3 - 2a = 0$ が実数解を持たない条件は $D_1 < 0$

$D_1 = (-8a)^2 - 4(3 - 2a) = 64a^2 - 12 + 8a < 0$

$16a^2 + 2a - 3 < 0$

$(8a - 3)(2a + 1) < 0$

$-\frac{1}{2} < a < \frac{3}{8}$

$2x^2 + x + 5a^2 = 0$ が実数解を持たない条件は $D_2 < 0$

$D_2 = 1^2 - 4(2)(5a^2) = 1 - 40a^2 < 0$

$40a^2 > 1$

$a^2 > \frac{1}{40}$

$a < -\frac{1}{\sqrt{40}} = -\frac{1}{2\sqrt{10}}$ または $a > \frac{1}{2\sqrt{10}}$

どちらも実数解を持たないためには、 $-\frac{1}{2} < a < \frac{3}{8}$ かつ ($a < -\frac{1}{2\sqrt{10}}$ または $a > \frac{1}{2\sqrt{10}}$)

$-\frac{1}{2} < a < -\frac{1}{2\sqrt{10}}$ または $\frac{1}{2\sqrt{10}} < a < \frac{3}{8}$

(4)

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, $A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7\}$, $A \cap B = \{3, 5\}$, $\overline{A} \cap B = \{7\}$

$\overline{A} \cap B = B - A = \{7\}$ より、$B = \{3, 5, 7\}$

$A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7\}$ であり、$B = \{3, 5, 7\}$ なので、$A = \{2, 3, 5, 6\}$

$A \cap \overline{B} = A - B = \{2, 6\}$

$\overline{A} = \{1, 4, 7\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B} = \{1, 4\}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{3}{4}$, 重解: $x = \frac{5}{4}$

(2) 29

(3) $-\frac{1}{2} < a < -\frac{1}{2\sqrt{10}}$ または $\frac{1}{2\sqrt{10}} < a < \frac{3}{8}$

(4) $A \cap \overline{B} = \{2, 6\}$, $\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 4\}$