$n$次の正則行列$A, B, C$が与えられている。$P = ABC$とするとき、$P^{-1}$を$A^{-1}, B^{-1}, C^{-1}$を用いて表す。

## 問題 0704b

1. 問題の内容

$n$次の正則行列$A, B, C$が与えられている。$P = ABC$とするとき、$P^{-1}$を$A^{-1}, B^{-1}, C^{-1}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

正則行列の積の逆行列は、それぞれの逆行列の順序を逆にした積に等しいという性質を利用する。つまり、$(XY)^{-1} = Y^{-1}X^{-1}$である。

$P = ABC$なので、両辺の逆行列を考えると、

$P^{-1} = (ABC)^{-1}$

となる。

上記の性質を適用すると、

$P^{-1} = C^{-1}(AB)^{-1}$

となる。さらに、$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$なので、

$P^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$

となる。

3. 最終的な答え

$P^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$