任意の巡回置換 $(k_1 \ k_2 \ ... \ k_r)$ に対して、以下の等式が成り立つことを証明します。 $(k_1 \ k_2 \ ... \ k_r) = (k_1 \ k_r)(k_1 \ k_2 \ ... \ k_{r-1})$

1. 問題の内容

任意の巡回置換 $(k_1 \ k_2 \ ... \ k_r)$ に対して、以下の等式が成り立つことを証明します。

$(k_1 \ k_2 \ ... \ k_r) = (k_1 \ k_r)(k_1 \ k_2 \ ... \ k_{r-1})$

2. 解き方の手順

巡回置換の定義に基づいて、右辺の置換を計算し、左辺と等しいことを示します。

まず、右辺の置換を合成します。$(k_1 \ k_r)$ は $k_1$ を $k_r$ に、 $k_r$ を $k_1$ に写し、それ以外の要素はそのままにします。$(k_1 \ k_2 \ ... \ k_{r-1})$ は $k_1$ を $k_2$ に、 $k_2$ を $k_3$ に、...、$k_{r-2}$ を $k_{r-1}$ に、$k_{r-1}$ を $k_1$ に写し、それ以外の要素はそのままにします。

右辺 $(k_1 \ k_r)(k_1 \ k_2 \ ... \ k_{r-1})$ を順に適用することを考えます。

* $k_1$ は $(k_1 \ k_2 \ ... \ k_{r-1})$ によって $k_2$ に写され、$(k_1 \ k_r)$ によってそのまま $k_2$ に写されます。

* $k_2$ は $(k_1 \ k_2 \ ... \ k_{r-1})$ によって $k_3$ に写され、$(k_1 \ k_r)$ によってそのまま $k_3$ に写されます。

* $k_{r-1}$ は $(k_1 \ k_2 \ ... \ k_{r-1})$ によって $k_1$ に写され、$(k_1 \ k_r)$ によって $k_r$ に写されます。

* $k_r$ は $(k_1 \ k_2 \ ... \ k_{r-1})$ によってそのまま $k_r$ に写され、$(k_1 \ k_r)$ によって $k_1$ に写されます。

したがって、$(k_1 \ k_r)(k_1 \ k_2 \ ... \ k_{r-1})$ は $k_1$ を $k_2$ に、$k_2$ を $k_3$ に、...、$k_{r-1}$ を $k_r$ に、$k_r$ を $k_1$ に写し、これは $(k_1 \ k_2 \ ... \ k_r)$ と同じです。

3. 最終的な答え

$(k_1 \ k_2 \ ... \ k_r) = (k_1 \ k_r)(k_1 \ k_2 \ ... \ k_{r-1})$ が成り立つ。