与えられた置換を互換の積で表し、それぞれの置換の符号を求める問題です。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 7 & 4 & 1 & 2 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 4 & 1 & 9 & 8 & 6 & 5 & 7 & 2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた置換を互換の積で表し、それぞれの置換の符号を求める問題です。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 7 & 4 & 1 & 2 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 4 & 1 & 9 & 8 & 6 & 5 & 7 & 2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた置換を巡回置換の積で表します。

$1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$

$2 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow 5 \rightarrow 2$

よって、

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 7 & 4 & 1 & 2 & 5 & 6 \end{pmatrix} = (1\ 3\ 4)(2\ 7\ 6\ 5)$

次に、それぞれの巡回置換を互換の積で表します。

$(1\ 3\ 4) = (1\ 4)(1\ 3)$

$(2\ 7\ 6\ 5) = (2\ 5)(2\ 6)(2\ 7)$

したがって、与えられた置換は互換の積として、

$(1\ 4)(1\ 3)(2\ 5)(2\ 6)(2\ 7)$

と表せます。

互換の数は5なので、置換の符号は$(-1)^5 = -1$です。

(2)

まず、与えられた置換を巡回置換の積で表します。

$1 \rightarrow 3 \rightarrow 1$

$2 \rightarrow 4 \rightarrow 9 \rightarrow 2$

$5 \rightarrow 8 \rightarrow 7 \rightarrow 5$

$6 \rightarrow 6$

よって、

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 4 & 1 & 9 & 8 & 6 & 5 & 7 & 2 \end{pmatrix} = (1\ 3)(2\ 4\ 9)(5\ 8\ 7)$

次に、それぞれの巡回置換を互換の積で表します。

$(1\ 3) = (1\ 3)$

$(2\ 4\ 9) = (2\ 9)(2\ 4)$

$(5\ 8\ 7) = (5\ 7)(5\ 8)$

したがって、与えられた置換は互換の積として、

$(1\ 3)(2\ 9)(2\ 4)(5\ 7)(5\ 8)$

と表せます。

互換の数は5なので、置換の符号は$(-1)^5 = -1$です。

3. 最終的な答え

(1) 互換の積: $(1\ 4)(1\ 3)(2\ 5)(2\ 6)(2\ 7)$

符号: -1

(2) 互換の積: $(1\ 3)(2\ 9)(2\ 4)(5\ 7)(5\ 8)$

符号: -1