与えられた行列式の因数分解を行います。行列式は以下の3つです。 (i) $\begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix}$ (ii) $\begin{vmatrix} 1 & x & x^3 \\ 1 & y & y^3 \\ 1 & z & z^3 \end{vmatrix}$ (iii) $\begin{vmatrix} 1 & a & a^3+1 \\ 1 & b & b^3+1 \\ 1 & c & c^3+1 \end{vmatrix}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた行列式の因数分解を行います。行列式は以下の3つです。

(i) $\begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix}$

(ii) $\begin{vmatrix} 1 & x & x^3 \\ 1 & y & y^3 \\ 1 & z & z^3 \end{vmatrix}$

(iii) $\begin{vmatrix} 1 & a & a^3+1 \\ 1 & b & b^3+1 \\ 1 & c & c^3+1 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(i) の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix} = a(a^2 - bc) - b(ac - b^2) + c(c^2 - ab) = a^3 - abc - abc + b^3 + c^3 - abc = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

(ii) の行列式を計算します。これはVandermondeの行列式なので、以下のように計算できます。

$\begin{vmatrix} 1 & x & x^3 \\ 1 & y & y^3 \\ 1 & z & z^3 \end{vmatrix} = (y-x)(z-x)(z-y)(x+y+z)$

(iii) の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^3+1 \\ 1 & b & b^3+1 \\ 1 & c & c^3+1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & a & a^3 \\ 1 & b & b^3 \\ 1 & c & c^3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & c & 1 \end{vmatrix}$

右辺の第二項は2列が等しいので 0 となります。第一項は(ii)と同様に計算できます。

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^3 \\ 1 & b & b^3 \\ 1 & c & c^3 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$

3. 最終的な答え

(i) $(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

(ii) $(y-x)(z-x)(z-y)(x+y+z)$

(iii) $(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$