## 回答

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1. 問題の内容

この問題は、三角関数の合成、指数方程式、対数不等式の３つの小問から構成されています。

(1) $f(\theta) = 5\sin^2\theta + 11\cos^2\theta - 12\sin\theta\cos\theta$ を$\sin2\theta$と$\cos2\theta$を用いて表し、その最大値を求めます。

(2) 指数方程式 $4^x - 3\cdot2^{x+2} + 32 = 0$ の解を求めます。

(3) 対数不等式 $\log_2(3x^2 - 8x + 4) > \log_2(x^2 + 2x - 8)$ の解を求めます。

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2. 解き方の手順

(1) 三角関数の合成

まず、$f(\theta)$を$\sin2\theta$と$\cos2\theta$を用いて表します。

$\sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}$, $\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$, $\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin2\theta$ を用いて変形します。

$f(\theta) = 5(\frac{1-\cos2\theta}{2}) + 11(\frac{1+\cos2\theta}{2}) - 12(\frac{1}{2}\sin2\theta)$

$f(\theta) = \frac{5}{2} - \frac{5}{2}\cos2\theta + \frac{11}{2} + \frac{11}{2}\cos2\theta - 6\sin2\theta$

$f(\theta) = 8 + 3\cos2\theta - 6\sin2\theta$

$f(\theta) = -6\sin2\theta + 3\cos2\theta + 8$

合成すると、

$f(\theta) = \sqrt{(-6)^2 + 3^2}\sin(2\theta + \alpha) + 8$

$f(\theta) = \sqrt{36 + 9}\sin(2\theta + \alpha) + 8$

$f(\theta) = \sqrt{45}\sin(2\theta + \alpha) + 8$

$f(\theta) = 3\sqrt{5}\sin(2\theta + \alpha) + 8$

したがって、$f(\theta)$の最大値は$3\sqrt{5} + 8$となります。

(2) 指数方程式

$4^x - 3\cdot2^{x+2} + 32 = 0$を解きます。

$(2^x)^2 - 3\cdot2^2\cdot2^x + 32 = 0$

$(2^x)^2 - 12\cdot2^x + 32 = 0$

$2^x = t$ とおくと、$t^2 - 12t + 32 = 0$

$(t - 4)(t - 8) = 0$

$t = 4, 8$

$2^x = 4 \Rightarrow x = 2$

$2^x = 8 \Rightarrow x = 3$

(3) 対数不等式

$\log_2(3x^2 - 8x + 4) > \log_2(x^2 + 2x - 8)$を解きます。

まず、真数条件より

$3x^2 - 8x + 4 > 0$ かつ $x^2 + 2x - 8 > 0$が必要です。

$3x^2 - 8x + 4 = (3x - 2)(x - 2) > 0 \Rightarrow x < \frac{2}{3}, 2 < x$

$x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2) > 0 \Rightarrow x < -4, 2 < x$

共通範囲は $x < -4, 2 < x$

次に、不等式を解きます。

底が2で1より大きいので、真数部分の大小関係がそのまま不等号の向きになります。

$3x^2 - 8x + 4 > x^2 + 2x - 8$

$2x^2 - 10x + 12 > 0$

$x^2 - 5x + 6 > 0$

$(x - 2)(x - 3) > 0$

$x < 2, 3 < x$

真数条件との共通範囲を考えると、

$x < -4$ または $3 < x$

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3. 最終的な答え

(1) $f(\theta) = -12 \sin 2\theta + 3 \cos 2\theta + 8$

$f(\theta)$の最大値は $8 + 3\sqrt{5}$

(2) $x = 2$ と $x = 3$

(3) $x < -4, 3 < x$