集合 $A = \{x | x < -1, 2 \le x \}$ と集合 $B = \{x | x \le -3, 2 \le x \}$ が与えられたとき、以下の集合をア～ケの中から選択する問題です。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $A \cup \overline{B}$

## 数学の問題

1. 問題の内容

集合 $A = \{x | x < -1, 2 \le x \}$ と集合 $B = \{x | x \le -3, 2 \le x \}$ が与えられたとき、以下の集合をア～ケの中から選択する問題です。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $A \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ (AかつB): AとBの両方に含まれる要素の集合です。

- $A = \{x | x < -1, 2 \le x \}$

- $B = \{x | x \le -3, 2 \le x \}$

- $A \cap B = \{x | x \le -3, 2 \le x \}$

したがって、(1)の答えはイです。

(2) $A \cup B$ (AまたはB): AまたはBに含まれる要素の集合です。

- $A = \{x | x < -1, 2 \le x \}$

- $B = \{x | x \le -3, 2 \le x \}$

- $A \cup B = \{x | x < -1, 2 \le x \} \cup \{x | x \le -3, 2 \le x \} = \{x | x < -1, 2 \le x \} = \{x | x < -1 \text{ or } 2 \le x \}$

したがって、(2)の答えはアです。

(3) $\overline{A} \cap B$ (Aの補集合かつB): Aに含まれない要素で、かつBに含まれる要素の集合です。

- $A = \{x | x < -1, 2 \le x \}$

- $\overline{A} = \{x | -1 \le x < 2 \}$

- $B = \{x | x \le -3, 2 \le x \}$

- $\overline{A} \cap B = \{x | -1 \le x < 2 \} \cap \{x | x \le -3, 2 \le x \} = \emptyset$

しかし、選択肢に空集合がないので、計算に誤りがあると判断し、問題を再度確認する。

集合Bの条件は $x \le -3$ または $2 \le x$なので, $\overline{A} = \{ x | -1 \le x < 2 \}$との共通部分は空集合になる。

ただし，選択肢の中に空集合がないので，問題文か選択肢に誤りがある可能性が高い．

ここでは，計算間違いがないか何度も確認し、選択肢の中から最も近いものを選ぶしかない。

強いて選ぶなら, $\overline{A} = \{ x | -1 \le x < 2\}$なので, Bとの共通部分がないことを考慮すると，条件を満たすものが選択肢にない。

よって，この問題は解なしとしておく。

(4) $A \cup \overline{B}$ (AまたはBの補集合): AまたはBに含まれない要素の集合です。

- $A = \{x | x < -1, 2 \le x \}$

- $B = \{x | x \le -3, 2 \le x \}$

- $\overline{B} = \{x | -3 < x < 2 \}$

- $A \cup \overline{B} = \{x | x < -1, 2 \le x \} \cup \{x | -3 < x < 2 \} = \{x | x < -1 \text{ or } -3 < x < 2 \text{ or } 2 \le x \} = \{ x | x < -1 \text{ or } x > -3 \} = \{ x | x \in \mathbb{R} \}$

実数全体集合なので，この条件を満たす選択肢はない。

3. 最終的な答え

(1) イ

(2) ア

(3) 解なし

(4) 解なし