与えられた行列の等式を満たす正方行列 $X$ を求める問題です。具体的には、行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & 3 & 5 \end{pmatrix}$ と行列 $B = \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix}$ が与えられ、$AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列の等式を満たす正方行列 $X$ を求める問題です。具体的には、行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & 3 & 5 \end{pmatrix}$ と行列 $B = \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix}$ が与えられ、$AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めます。

2. 解き方の手順

行列 $A$ が正則行列である場合、$X = A^{-1}B$ によって $X$ を求めることができます。 まず、$A$ の逆行列 $A^{-1}$ を計算します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & 3 & 5 \end{pmatrix}$

$A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 1(-2 \cdot 5 - 1 \cdot 3) - (-3)(1 \cdot 5 - 1 \cdot (-3)) + 3(1 \cdot 3 - (-2) \cdot (-3))$

$= 1(-10 - 3) + 3(5 + 3) + 3(3 - 6)$

$= -13 + 3(8) + 3(-3) = -13 + 24 - 9 = 2$

次に、$A$ の余因子行列 $C$ を計算します。

$C_{11} = (-2) \cdot 5 - 1 \cdot 3 = -13$

$C_{12} = -(1 \cdot 5 - 1 \cdot (-3)) = -8$

$C_{13} = 1 \cdot 3 - (-2) \cdot (-3) = 3 - 6 = -3$

$C_{21} = -(-3 \cdot 5 - 3 \cdot 3) = -(-15 - 9) = 24$

$C_{22} = 1 \cdot 5 - 3 \cdot (-3) = 5 + 9 = 14$

$C_{23} = -(1 \cdot 3 - (-3) \cdot (-3)) = -(3 - 9) = 6$

$C_{31} = -3 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) = -3 + 6 = 3$

$C_{32} = -(1 \cdot 1 - 3 \cdot 1) = -(1 - 3) = 2$

$C_{33} = 1 \cdot (-2) - (-3) \cdot 1 = -2 + 3 = 1$

余因子行列 $C = \begin{pmatrix} -13 & -8 & -3 \\ 24 & 14 & 6 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$A$ の転置余因子行列（adjugate行列）$C^T$ を計算します。

$C^T = \begin{pmatrix} -13 & 24 & 3 \\ -8 & 14 & 2 \\ -3 & 6 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -13 & 24 & 3 \\ -8 & 14 & 2 \\ -3 & 6 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 & 12 & 3/2 \\ -4 & 7 & 1 \\ -3/2 & 3 & 1/2 \end{pmatrix}$

$X = A^{-1} B$ を計算します。

$X = \begin{pmatrix} -13/2 & 12 & 3/2 \\ -4 & 7 & 1 \\ -3/2 & 3 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} (-13/2) \cdot 8 + 12 \cdot 4 + (3/2) \cdot 8 & (-13/2) \cdot 7 + 12 \cdot 6 + (3/2) \cdot 7 & (-13/2) \cdot 4 + 12 \cdot 3 + (3/2) \cdot 4 \\ -4 \cdot 8 + 7 \cdot 4 + 1 \cdot 8 & -4 \cdot 7 + 7 \cdot 6 + 1 \cdot 7 & -4 \cdot 4 + 7 \cdot 3 + 1 \cdot 4 \\ (-3/2) \cdot 8 + 3 \cdot 4 + (1/2) \cdot 8 & (-3/2) \cdot 7 + 3 \cdot 6 + (1/2) \cdot 7 & (-3/2) \cdot 4 + 3 \cdot 3 + (1/2) \cdot 4 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} -52 + 48 + 12 & -91/2 + 72 + 21/2 & -26 + 36 + 6 \\ -32 + 28 + 8 & -28 + 42 + 7 & -16 + 21 + 4 \\ -12 + 12 + 4 & -21/2 + 18 + 7/2 & -6 + 9 + 2 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} 8 & (-91 + 144 + 21)/2 & 16 \\ 4 & 21 & 9 \\ 4 & (-21 + 36 + 7)/2 & 5 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} 8 & 74/2 & 16 \\ 4 & 21 & 9 \\ 4 & 22/2 & 5 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} 8 & 37 & 16 \\ 4 & 21 & 9 \\ 4 & 11 & 5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} 8 & 37 & 16 \\ 4 & 21 & 9 \\ 4 & 11 & 5 \end{pmatrix}$