与えられた二次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 + 2x - 2$ のグラフの頂点の座標を求め、さらに与えられた3つのグラフの中から、この二次関数のグラフとして正しいものを選びます。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 + 2x - 2$ のグラフの頂点の座標を求め、さらに与えられた3つのグラフの中から、この二次関数のグラフとして正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = \frac{1}{4}x^2 + 2x - 2$

$y = \frac{1}{4}(x^2 + 8x) - 2$

$y = \frac{1}{4}(x^2 + 8x + 16 - 16) - 2$

$y = \frac{1}{4}(x + 4)^2 - 4 - 2$

$y = \frac{1}{4}(x + 4)^2 - 6$

したがって、頂点の座標は $(-4, -6)$ です。

次に、与えられた3つのグラフの中で、頂点の座標が $(-4, -6)$ になっているものを探します。また、$x^2$の係数が正であるため、グラフは下に凸である必要があります。

①のグラフの頂点は$(4, -6)$ 付近であり、②のグラフの頂点は$(-2, -3)$ 付近であり、③のグラフの頂点は$(-4, -6)$ です。

したがって、グラフは③であることがわかります。

3. 最終的な答え

頂点の座標は $(-4, -6)$ で、グラフは③です。