与えられた３つの命題について、条件がそれぞれ必要条件、十分条件、必要十分条件、またはそのいずれでもないかを判断する問題です。 (1) $\triangle ABC$が正三角形であることは、$\angle A = 60^\circ$であるための条件は何か。 (2) $x > 1$であることは、$xy > 1$であるための条件は何か。 (3) $x, y$が有理数であるとき、$x + y\sqrt{2} = 0$であることは、$x = y = 0$であるための条件は何か。 選択肢は以下の通りです。 ア. 必要条件である。 イ. 十分条件である。 ウ. 必要十分条件である。 エ. 必要条件でも十分条件でもない。

1. 問題の内容

与えられた３つの命題について、条件がそれぞれ必要条件、十分条件、必要十分条件、またはそのいずれでもないかを判断する問題です。

(1) $\triangle ABC$が正三角形であることは、$\angle A = 60^\circ$であるための条件は何か。

(2) $x > 1$であることは、$xy > 1$であるための条件は何か。

(3) $x, y$が有理数であるとき、$x + y\sqrt{2} = 0$であることは、$x = y = 0$であるための条件は何か。

選択肢は以下の通りです。

ア. 必要条件である。

イ. 十分条件である。

ウ. 必要十分条件である。

エ. 必要条件でも十分条件でもない。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$が正三角形であることは、$\angle A = 60^\circ$であるための条件を考えます。

$\triangle ABC$が正三角形ならば、$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$なので、$\angle A = 60^\circ$は成り立ちます。つまり、正三角形であることは$\angle A=60^\circ$であるための十分条件です。

逆に、$\angle A = 60^\circ$であるからといって、$\triangle ABC$が正三角形とは限りません。例えば、$\angle A = 60^\circ, \angle B = 40^\circ, \angle C = 80^\circ$の三角形も存在します。つまり、$\angle A = 60^\circ$であることは正三角形であるための必要条件ではありません。

したがって、(1)の答えはイです。

(2) $x > 1$であることは、$xy > 1$であるための条件を考えます。

$x > 1$ならば、$xy > 1$とは限りません。例えば、$x = 2$のとき、$y = 0.1$ならば、$xy = 0.2 < 1$となります。つまり、$x > 1$であることは、$xy > 1$であるための十分条件ではありません。

逆に、$xy > 1$ならば、$x > 1$とは限りません。例えば、$x = -2, y = -1$ならば、$xy = 2 > 1$ですが、$x = -2 < 1$です。つまり、$xy > 1$であることは、$x > 1$であるための必要条件ではありません。

したがって、(2)の答えはエです。

(3) $x, y$が有理数であるとき、$x + y\sqrt{2} = 0$であることは、$x = y = 0$であるための条件を考えます。

$x = y = 0$ならば、$x + y\sqrt{2} = 0 + 0\sqrt{2} = 0$なので、$x=y=0$であることは$x + y\sqrt{2} = 0$であるための十分条件です。

$x + y\sqrt{2} = 0$のとき、$y \ne 0$と仮定すると、$\sqrt{2} = -\frac{x}{y}$となります。$x, y$は有理数なので、$-\frac{x}{y}$も有理数ですが、$\sqrt{2}$は無理数なので矛盾します。したがって、$y = 0$でなければなりません。

$y = 0$を$x + y\sqrt{2} = 0$に代入すると、$x + 0 \cdot \sqrt{2} = x = 0$となります。したがって、$x = y = 0$となります。

つまり、$x + y\sqrt{2} = 0$であることは、$x = y = 0$であるための必要条件です。

$x=y=0$は$x + y\sqrt{2} = 0$の十分条件であり、かつ必要条件であるので、$x=y=0$は$x + y\sqrt{2} = 0$であるための必要十分条件です。

したがって、(3)の答えはウです。

3. 最終的な答え

(1) イ

(2) エ

(3) ウ