2次関数 $y = -x^2 + 4x - 1$ の最大値と最小値を、選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 4x - 1$ の最大値と最小値を、選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x - 1 = -(x^2 - 4x) - 1$

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1$

$y = -((x-2)^2 - 4) - 1$

$y = -(x-2)^2 + 4 - 1$

$y = -(x-2)^2 + 3$

この式から、この2次関数は上に凸な放物線であり、頂点の座標は $(2, 3)$ であることがわかります。したがって、最大値は $3$ です。

最小値についてですが、$x$ の値に制限がないので、下にどこまでも伸びていくグラフなので、最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

最大値: 3 (選択肢③)

最小値: ない (選択肢⑤)