ある店の商品Aは、売り値が70円のとき1日に450個売れる。売り値を70円から1円値上げするごとに、1日に売れる個数が5個ずつ減少する。商品Aの売り値は70円以上として、1日の売り上げ高が最大になるのはいくらのときか求める。売り値を70円から$x$円値上げしたときの1日の売り上げ高を$y$円とする。 与えられた条件を元に、$y$を最大にする$x$を求め、最終的に商品Aの売り値を計算する。

1. 問題の内容

ある店の商品Aは、売り値が70円のとき1日に450個売れる。売り値を70円から1円値上げするごとに、1日に売れる個数が5個ずつ減少する。商品Aの売り値は70円以上として、1日の売り上げ高が最大になるのはいくらのときか求める。売り値を70円から$x$円値上げしたときの1日の売り上げ高を$y$円とする。

与えられた条件を元に、$y$を最大にする$x$を求め、最終的に商品Aの売り値を計算する。

2. 解き方の手順

まず、1日に売れる個数を求める。売り値を$x$円値上げすると、売れる個数は$450 - 5x$個となる。したがって、「コ」に入る数字は5である。

$x \ge 0$ かつ $450 - 5x \ge 0$ より、$5x \le 450$ 、すなわち $x \le 90$。したがって、「サシ」に入る数字は90である。

次に、$y$を$x$で表す。

$y = (70 + x)(450 - 5x)$

$= 31500 - 350x + 450x - 5x^2$

$= -5x^2 + 100x + 31500$

$= -5(x^2 - 20x) + 31500$

$= -5(x^2 - 20x + 100 - 100) + 31500$

$= -5((x - 10)^2 - 100) + 31500$

$= -5(x - 10)^2 + 500 + 31500$

$= -5(x - 10)^2 + 32000$

したがって、

$y = -5(x^2 - 20x - 6300)$であるため、「セン」に入る数字は20。

また、「ス」に入る数字は5。

$0 \le x \le 90$の範囲で、$y$は$x = 10$のとき最大値をとる。なぜなら、$y = -5(x - 10)^2 + 32000$であり、$(x - 10)^2$が最小となるとき、$y$は最大となるから。したがって、「タチ」に入る数字は10である。

商品Aの売り値は、$70 + x = 70 + 10 = 80$円のとき売り上げ高が最大となる。したがって、「ツテ」に入る数字は80である。

3. 最終的な答え

コ: 5

サシ: 90

ス: 5

セン: 20

タチ: 10

ツテ: 80