図３において、ひし形ABCDがあり、点Bと点Fを結ぶ。$BE = BG$かつ$BE:CE = 3:2$であるとき、四角形BCHFの面積が、ひし形ABCDの面積の何倍かを求める問題。

1. 問題の内容

図３において、ひし形ABCDがあり、点Bと点Fを結ぶ。$BE = BG$かつ$BE:CE = 3:2$であるとき、四角形BCHFの面積が、ひし形ABCDの面積の何倍かを求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$BE:CE = 3:2$より、$BC:BE = (3+2):3 = 5:3$となる。

したがって、$BE = \frac{3}{5} BC$

ひし形ABCDの面積をSとおくと、$\triangle ABC = \frac{1}{2}S$である。

$\triangle FBC$の面積を求める。$\angle FBC = \angle ABC$より、$\triangle FBC$と$\triangle ABC$は同じ角を持つ。

$\triangle FBC$の面積は、$\triangle ABC$の面積に対して、底辺の比で決定される。つまり、$BE = BG$という条件から、$BG = BE = \frac{3}{5} BC$である。$CE= \frac{2}{5}BC$ である。

したがって、$BC = \frac{5}{3}BE$ であり、$BG = BE = \frac{3}{5}BC$である。

$\triangle ABG$の面積は、$\triangle ABC$の面積に対して、$BG/BC=3/5$倍となるので、$\triangle ABG = \frac{3}{5}\triangle ABC = \frac{3}{5}\frac{1}{2}S=\frac{3}{10}S$となる。

また、$\triangle BCE$の面積は、$CE/BC=2/5$倍となるので、$\triangle BCE = \frac{2}{5}\triangle ABC = \frac{2}{5}\frac{1}{2}S=\frac{1}{5}S$となる。

$\triangle BCG$の面積は、 $\triangle BCG = \triangle BCE = \frac{1}{5}S$ となる。

$CFHD$の面積は、$\triangle ABG$の面積に等しいので、 $\frac{3}{10}S$ となる。

四角形$BCHF$の面積は、$\triangle BCF+\triangle CHF$である。

$\triangle BCF = \frac{1}{2} S$に等しい。

四角形BCHFの面積は、$S - \triangle ABF - \triangle DFH = S - \triangle ABG - \triangle BEG - \triangle DFH = S - 2*\triangle ABG - \triangle ABG - \frac{1}{5}S =\frac{1}{2}S$

四角形BCHFの面積は、$\triangle BCF + \triangle CFH$

$CF = \frac{3}{5}CD = BE= DH$

四角形$BCHF$の面積$= \triangle BCF + \triangle CFH = \frac{1}{2} \times BC \times h$

四角形BCHFの面積を求める。

$\triangle ABC = \frac{1}{2}S$で、$BE=\frac{3}{5}BC$

$\frac{AB}{BC} = 1/2 AB$

よって、$CE = BC - BE = BC - \frac{3}{5}BC = \frac{2}{5}BC$

四角形BCHFの面積 = $\triangle BCF + \triangle CFH$

$\triangle BCE = \frac{2}{5} * \frac{1}{2}S = \frac{1}{5}S$

平行四辺形$ABCD$の面積Sは、ひし形の面積の半分に等しい

よって、$CE=\frac{2}{5}BC$から、$\triangle BCH = 1/2h * \frac{2}{5}BC = \frac{2}{5} ABCH = \frac{1}{5} S$

3. 最終的な答え

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