質量 $m$ の質点が重力のもとで自由落下する。空気抵抗は速度の二乗に比例し、比例定数 $k > 0$ である。初速度はゼロとする。 (1) 速度 $v$ を用いて運動方程式を立てる。 (2) $g = 32$, $m = 2$, $k = 1$ として、(1) の微分方程式の特解を求め、横軸を時刻 $t$, 縦軸を速度 $v$ としてグラフを描く。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が重力のもとで自由落下する。空気抵抗は速度の二乗に比例し、比例定数 $k > 0$ である。初速度はゼロとする。

(1) 速度 $v$ を用いて運動方程式を立てる。

(2) $g = 32$, $m = 2$, $k = 1$ として、(1) の微分方程式の特解を求め、横軸を時刻 $t$, 縦軸を速度 $v$ としてグラフを描く。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式を立てる。重力による力は $mg$ であり、空気抵抗は $-kv^2$ である。したがって、運動方程式は

$m \frac{dv}{dt} = mg - kv^2$

となる。

(2) 与えられた値を代入すると、運動方程式は

$2 \frac{dv}{dt} = 2 \cdot 32 - v^2$

$\frac{dv}{dt} = 32 - \frac{1}{2}v^2$

$\frac{dv}{dt} = \frac{64 - v^2}{2}$

となる。これを解くために、変数分離を行う。

$\frac{dv}{64 - v^2} = \frac{1}{2} dt$

両辺を積分する。

$\int \frac{dv}{64 - v^2} = \int \frac{1}{2} dt$

左辺の積分は、部分分数分解を用いて

$\frac{1}{64 - v^2} = \frac{1}{(8 - v)(8 + v)} = \frac{A}{8 - v} + \frac{B}{8 + v}$

とおくと、

$1 = A(8 + v) + B(8 - v)$

$v = 8$ のとき $1 = 16A$, よって $A = \frac{1}{16}$

$v = -8$ のとき $1 = 16B$, よって $B = \frac{1}{16}$

したがって、

$\int \frac{dv}{64 - v^2} = \frac{1}{16} \int \left( \frac{1}{8 - v} + \frac{1}{8 + v} \right) dv = \frac{1}{16} ( -\ln |8 - v| + \ln |8 + v|) = \frac{1}{16} \ln \left| \frac{8 + v}{8 - v} \right|$

右辺の積分は

$\int \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} t + C$

よって

$\frac{1}{16} \ln \left| \frac{8 + v}{8 - v} \right| = \frac{1}{2} t + C$

$\ln \left| \frac{8 + v}{8 - v} \right| = 8t + 16C$

$\frac{8 + v}{8 - v} = e^{8t + 16C} = e^{8t} e^{16C} = Ae^{8t}$

ここで、$A = e^{16C}$ である。

$8 + v = Ae^{8t} (8 - v)$

$8 + v = 8Ae^{8t} - vAe^{8t}$

$v(1 + Ae^{8t}) = 8Ae^{8t} - 8$

$v = \frac{8(Ae^{8t} - 1)}{Ae^{8t} + 1}$

初期条件 $v(0) = 0$ を用いると

$0 = \frac{8(A - 1)}{A + 1}$

$A = 1$

したがって、

$v(t) = \frac{8(e^{8t} - 1)}{e^{8t} + 1}$

$v(t) = 8 \frac{e^{4t} - e^{-4t}}{e^{4t} + e^{-4t}} = 8 \tanh(4t)$

グラフは $t=0$ で $v=0$ から始まり、時間経過とともに $v$ は増加し、$v=8$ に漸近する。

3. 最終的な答え

(1) $m \frac{dv}{dt} = mg - kv^2$

(2) $v(t) = 8 \tanh(4t)$