与えられた式 $x(y^2 - z^2) + y(z^2 - x^2) + z(x^2 - y^2)$ を因数分解せよ。

## 問題 2 (8) の解答

1. 問題の内容

与えられた式 $x(y^2 - z^2) + y(z^2 - x^2) + z(x^2 - y^2)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

1. 式を展開します。

$x(y^2 - z^2) + y(z^2 - x^2) + z(x^2 - y^2) = xy^2 - xz^2 + yz^2 - yx^2 + zx^2 - zy^2$

2. 式を整理します。ここでは、$x$ について整理します。

$xy^2 - xz^2 + yz^2 - yx^2 + zx^2 - zy^2 = (z - y)x^2 + (y^2 - z^2)x + yz^2 - zy^2$

3. 式を因数分解するために、共通因数を見つけます。$y^2 - z^2 = (y - z)(y + z)$ および $yz^2 - zy^2 = yz(z - y)$ であることに注意すると、

$(z - y)x^2 + (y^2 - z^2)x + yz^2 - zy^2 = (z - y)x^2 + (y - z)(y + z)x + yz(z - y)$

4. $(z - y)$ を共通因数としてくくりだします。

$(z - y)x^2 + (y - z)(y + z)x + yz(z - y) = (z - y)[x^2 - (y + z)x + yz]$

5. 括弧内の二次式を因数分解します。

$x^2 - (y + z)x + yz = (x - y)(x - z)$

6. したがって、

$(z - y)[x^2 - (y + z)x + yz] = (z - y)(x - y)(x - z)$

7. より一般的な形にするために、$-(y-z)(x-y)(x-z) = (x - y)(y - z)(z - x)$と書き換えます。

3. 最終的な答え

$(x - y)(y - z)(z - x)$