B国の中央銀行の政策決定に関する4つの問題です。 与えられたフィリップス曲線 $\pi = \pi^e - 2(u - u^*)$ と損失関数 $l = 8\pi^2 + u$ を用いて、インフレ率$\pi$、失業率$u$、自然失業率$u^*$、中央銀行の損失$l$に関する値を計算します。

1. 問題の内容

B国の中央銀行の政策決定に関する4つの問題です。

与えられたフィリップス曲線 $\pi = \pi^e - 2(u - u^*)$ と損失関数 $l = 8\pi^2 + u$ を用いて、インフレ率$\pi$、失業率$u$、自然失業率$u^*$、中央銀行の損失$l$に関する値を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 損失を最小化するインフレ率を求める。

合理的期待形成がなされるので、$\pi = \pi^e$ です。したがって、フィリップス曲線は $\pi = \pi - 2(u - u^*)$ となり、$u = u^*$ が導かれます。損失関数は $l = 8\pi^2 + u^*$ となります。

損失関数を最小化するには、$\pi$ について微分して0とおけば良いです。

$\frac{dl}{d\pi} = 16\pi = 0$

$\pi = 0$

したがって、インフレ率は0%となります。

(2) 自然失業率が3%のときの損失を求める。

(1)より、$\pi = 0$ なので、損失関数は $l = 8(0)^2 + u^*$ となります。

自然失業率が3%なので、$u^* = 0.03$ です。

$l = 0.03$

したがって、中央銀行の損失は0.0300です。

(3) 2%のインフレ・ターゲット政策時の損失を求める。

$\pi = 0.02$ とすると、損失関数は $l = 8(0.02)^2 + u$ となります。

フィリップス曲線より、$0.02 = 0.02 - 2(u - 0.03)$ となります。

$0 = -2(u - 0.03)$

$u = 0.03$

$l = 8(0.02)^2 + 0.03 = 8(0.0004) + 0.03 = 0.0032 + 0.03 = 0.0332$

したがって、中央銀行の損失は0.0332です。

(4) 突然の金融緩和でインフレ率が4%に誘導されたときの損失を求める。

$\pi = 0.04$ のとき、損失関数は $l = 8(0.04)^2 + u$ となります。

期待インフレ率は2%なので、$\pi^e = 0.02$ です。フィリップス曲線より、$0.04 = 0.02 - 2(u - 0.03)$ となります。

$0.02 = -2(u - 0.03)$

$-0.01 = u - 0.03$

$u = 0.02$

$l = 8(0.04)^2 + 0.02 = 8(0.0016) + 0.02 = 0.0128 + 0.02 = 0.0328$

したがって、中央銀行の損失は0.0328です。

3. 最終的な答え

(1) インフレ率: 0.00%

(2) 中央銀行の損失: 0.0300

(3) 中央銀行の損失: 0.0332

(4) 中央銀行の損失: 0.0328