井戸の中に石を落としたところ、$\frac{35}{17}$秒後に音が聞こえた。石が手を離れてからt秒間に落ちる距離は$5t^2$m、音の速さを毎秒340mとして、水面までの距離を求める。

1. 問題の内容

井戸の中に石を落としたところ、$\frac{35}{17}$秒後に音が聞こえた。石が手を離れてからt秒間に落ちる距離は$5t^2$m、音の速さを毎秒340mとして、水面までの距離を求める。

2. 解き方の手順

石が水面に落ちるまでにかかる時間を$t_1$秒、音が水面から聞こえるまでにかかる時間を$t_2$秒とする。

水面までの距離を$d$ (m) とすると、以下の関係が成り立つ。

石が落ちる距離は、$d = 5t_1^2$。

音が伝わる距離は、$d = 340t_2$。

全体の時間は、$t_1 + t_2 = \frac{35}{17}$。

上記の式から$t_1$と$t_2$を求める。

まず、$t_2 = \frac{d}{340}$ と $t_1 = \sqrt{\frac{d}{5}}$ を $t_1 + t_2 = \frac{35}{17}$ に代入する。

$\sqrt{\frac{d}{5}} + \frac{d}{340} = \frac{35}{17}$

ここで、$x = \sqrt{d}$ とおくと、$d = x^2$ となり、

$\frac{x}{\sqrt{5}} + \frac{x^2}{340} = \frac{35}{17}$

$\frac{x^2}{340} + \frac{x}{\sqrt{5}} - \frac{35}{17} = 0$

両辺に$340$をかけて、

$x^2 + \frac{340}{\sqrt{5}}x - \frac{35}{17} \times 340 = 0$

$x^2 + 340 \times \frac{\sqrt{5}}{5}x - 35 \times 20 = 0$

$x^2 + 68\sqrt{5}x - 700 = 0$

ここで、$d=5t_1^2=340t_2$を変形すると

$t_1 = \sqrt{\frac{d}{5}}$、$t_2 = \frac{d}{340}$

$t_1 + t_2 = \frac{35}{17}$

$\sqrt{\frac{d}{5}} + \frac{d}{340} = \frac{35}{17}$

ここで$\sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$なので

$\frac{\sqrt{5}}{5}\sqrt{d} + \frac{d}{340} = \frac{35}{17}$

$d=20$を仮定すると

$\frac{\sqrt{5}}{5}\sqrt{20} + \frac{20}{340} = \frac{\sqrt{5}}{5}2\sqrt{5} + \frac{1}{17} = \frac{2\times 5}{5} + \frac{1}{17} = 2 + \frac{1}{17} = \frac{35}{17}$

よって、$d = 20$。

3. 最終的な答え

水面までの距離は 20 m。