質量が等しい2つの質点が3つのばねでつながれており、水平方向に振動する。それぞれの質点の平衡位置からの変位を $x_1$ と $x_2$ とする。$x_1$ と $x_2$ は以下の微分方程式に従う。 $\frac{d^2x_1}{dt^2} = -\omega_0^2x_1 + \epsilon(x_2 - x_1)$ $\frac{d^2x_2}{dt^2} = -\omega_0^2x_2 + \epsilon(x_1 - x_2)$ ここで、$\omega_0 > 0$、$\epsilon > 0$ である。 (1) $\vec{x} = (x_1, x_2)^T$ として、上記の微分方程式を $\frac{d^2\vec{x}}{dt^2} = A\vec{x}$ の形で書き、係数行列 $A$ を求めよ。 (2) 行列 $A$ の2つの固有値と、対応する固有ベクトルを求めよ。 (3) 行列 $A$ を対角化することにより、$x_1$ および $x_2$ の一般解を求めよ。

以下、問題の解答です。

1. 問題の内容

質量が等しい2つの質点が3つのばねでつながれており、水平方向に振動する。それぞれの質点の平衡位置からの変位を $x_1$ と $x_2$ とする。$x_1$ と $x_2$ は以下の微分方程式に従う。

$\frac{d^2x_1}{dt^2} = -\omega_0^2x_1 + \epsilon(x_2 - x_1)$

$\frac{d^2x_2}{dt^2} = -\omega_0^2x_2 + \epsilon(x_1 - x_2)$

ここで、$\omega_0 > 0$、$\epsilon > 0$ である。

(1) $\vec{x} = (x_1, x_2)^T$ として、上記の微分方程式を $\frac{d^2\vec{x}}{dt^2} = A\vec{x}$ の形で書き、係数行列 $A$ を求めよ。

(2) 行列 $A$ の2つの固有値と、対応する固有ベクトルを求めよ。

(3) 行列 $A$ を対角化することにより、$x_1$ および $x_2$ の一般解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 微分方程式を整理し、行列の形にする。

$\frac{d^2x_1}{dt^2} = -(\omega_0^2 + \epsilon)x_1 + \epsilon x_2$

$\frac{d^2x_2}{dt^2} = \epsilon x_1 - (\omega_0^2 + \epsilon)x_2$

よって、

$\frac{d^2}{dt^2} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -(\omega_0^2 + \epsilon) & \epsilon \\ \epsilon & -(\omega_0^2 + \epsilon) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

したがって、

$A = \begin{pmatrix} -(\omega_0^2 + \epsilon) & \epsilon \\ \epsilon & -(\omega_0^2 + \epsilon) \end{pmatrix}$

(2) 行列 $A$ の固有値を求める。固有方程式は、

$det(A - \lambda I) = 0$

$\begin{vmatrix} -(\omega_0^2 + \epsilon) - \lambda & \epsilon \\ \epsilon & -(\omega_0^2 + \epsilon) - \lambda \end{vmatrix} = 0$

$[ -(\omega_0^2 + \epsilon) - \lambda ]^2 - \epsilon^2 = 0$

$(\omega_0^2 + \epsilon + \lambda)^2 = \epsilon^2$

$\omega_0^2 + \epsilon + \lambda = \pm \epsilon$

$\lambda = -\omega_0^2 - \epsilon \pm \epsilon$

固有値は、

$\lambda_1 = -\omega_0^2 - 2\epsilon$

$\lambda_2 = -\omega_0^2$

固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = -\omega_0^2 - 2\epsilon$ に対する固有ベクトル $\vec{v_1}$ は、$(A - \lambda_1 I)\vec{v_1} = 0$ を満たす。

$\begin{pmatrix} \epsilon & \epsilon \\ \epsilon & \epsilon \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$v_{11} + v_{12} = 0$

$v_{12} = -v_{11}$

よって、$\vec{v_1} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ （$c_1$ は任意定数）

$\lambda_2 = -\omega_0^2$ に対する固有ベクトル $\vec{v_2}$ は、$(A - \lambda_2 I)\vec{v_2} = 0$ を満たす。

$\begin{pmatrix} -\epsilon & \epsilon \\ \epsilon & \epsilon \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -\epsilon & \epsilon \\ \epsilon & -\epsilon \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$v_{21} - v_{22} = 0$

$v_{22} = v_{21}$

よって、$\vec{v_2} = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ （$c_2$ は任意定数）

(3) 一般解を求める。

$\frac{d^2\vec{x}}{dt^2} = A\vec{x}$ の一般解は、固有値と固有ベクトルを用いて以下のように表せる。

$\vec{x}(t) = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \cos(\sqrt{-\lambda_1}t + \phi_1) + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cos(\sqrt{-\lambda_2}t + \phi_2)$

ここで、$\lambda_1 = -\omega_0^2 - 2\epsilon$, $\lambda_2 = -\omega_0^2$ であり、$c_1, c_2, \phi_1, \phi_2$ は任意定数である。

したがって、

$x_1(t) = c_1 \cos(\sqrt{\omega_0^2 + 2\epsilon}t + \phi_1) + c_2 \cos(\omega_0 t + \phi_2)$

$x_2(t) = -c_1 \cos(\sqrt{\omega_0^2 + 2\epsilon}t + \phi_1) + c_2 \cos(\omega_0 t + \phi_2)$

3. 最終的な答え

(1) $A = \begin{pmatrix} -(\omega_0^2 + \epsilon) & \epsilon \\ \epsilon & -(\omega_0^2 + \epsilon) \end{pmatrix}$

(2) 固有値: $\lambda_1 = -\omega_0^2 - 2\epsilon$, $\lambda_2 = -\omega_0^2$

固有ベクトル: $\vec{v_1} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{v_2} = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ($c_1, c_2$ は任意定数)

(3) $x_1(t) = c_1 \cos(\sqrt{\omega_0^2 + 2\epsilon}t + \phi_1) + c_2 \cos(\omega_0 t + \phi_2)$

$x_2(t) = -c_1 \cos(\sqrt{\omega_0^2 + 2\epsilon}t + \phi_1) + c_2 \cos(\omega_0 t + \phi_2)$ ($c_1, c_2, \phi_1, \phi_2$ は任意定数)