次の2つの絶対値を含む不等式を解きます。 (1) $|x-4| < 3x$ (2) $|x-1| + 2|x-3| \le 11$

1. 問題の内容

次の2つの絶対値を含む不等式を解きます。

(1) $|x-4| < 3x$

(2) $|x-1| + 2|x-3| \le 11$

2. 解き方の手順

(1) $|x-4| < 3x$ を解く。

場合分けをする。

i) $x-4 \ge 0$ のとき、つまり $x \ge 4$ のとき。

$x-4 < 3x$

$-2x < 4$

$x > -2$

$x \ge 4$ と $x > -2$ より、$x \ge 4$

ii) $x-4 < 0$ のとき、つまり $x < 4$ のとき。

$-(x-4) < 3x$

$-x + 4 < 3x$

$4 < 4x$

$x > 1$

$x < 4$ と $x > 1$ より、$1 < x < 4$

i), ii) より、$x \ge 4$ または $1 < x < 4$ なので、$x > 1$

(2) $|x-1| + 2|x-3| \le 11$ を解く。

場合分けをする。

i) $x < 1$ のとき。

$-(x-1) - 2(x-3) \le 11$

$-x+1 - 2x + 6 \le 11$

$-3x \le 4$

$x \ge -\frac{4}{3}$

$x < 1$ と $x \ge -\frac{4}{3}$ より、$-\frac{4}{3} \le x < 1$

ii) $1 \le x < 3$ のとき。

$(x-1) - 2(x-3) \le 11$

$x-1 - 2x + 6 \le 11$

$-x + 5 \le 11$

$-x \le 6$

$x \ge -6$

$1 \le x < 3$ と $x \ge -6$ より、$1 \le x < 3$

iii) $x \ge 3$ のとき。

$(x-1) + 2(x-3) \le 11$

$x-1 + 2x - 6 \le 11$

$3x - 7 \le 11$

$3x \le 18$

$x \le 6$

$x \ge 3$ と $x \le 6$ より、$3 \le x \le 6$

i), ii), iii) より、$-\frac{4}{3} \le x < 1$ または $1 \le x < 3$ または $3 \le x \le 6$ なので、 $-\frac{4}{3} \le x \le 6$

3. 最終的な答え

(1) $x > 1$

(2) $-\frac{4}{3} \le x \le 6$