与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、式を展開する。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc$

次に、次数が最も低い文字に着目して整理する。今回はどの文字も次数が2なので、$a$ について整理する。

$a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc = (b+c)a^2 + (b^2 + c^2 + 2bc)a + (b^2c + c^2b)$

さらに、整理して因数分解できる形にする。

$(b+c)a^2 + (b^2 + c^2 + 2bc)a + (b^2c + c^2b) = (b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c)$

共通因数 $(b+c)$ でくくる。

$(b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c) = (b+c)(a^2 + (b+c)a + bc)$

括弧の中を因数分解する。

$(b+c)(a^2 + (b+c)a + bc) = (b+c)(a+b)(a+c)$

したがって、因数分解された式は $(a+b)(b+c)(c+a)$ となる。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$