水180.0gにショ糖($C_{12}H_{22}O_{11}$) 6.84gを溶解した溶液Aと、水180.0gにNaCl 5.85gを溶解した溶液Bがある。25℃における水の飽和蒸気圧は $3.13 \times 10^3 Pa$ である。水の分子量は18.0 g/mol, ショ糖の分子量は342 g/mol, NaClの分子量は58.5 g/molとする。 1) 溶液Aの蒸気圧 $P_A$ を求めよ。 2) 溶液Bの蒸気圧 $P_B$ を求めよ。 3) 2つの溶液を図のように連結したとき、蒸気はどちらの溶液からどちらへ移動するか。 4) 両方の溶液の蒸気圧が等しくなって平衡になると蒸気の移動が止まる。このとき移動した水の物質量(水蒸気量)はいくらか。

応用数学化学溶液蒸気圧モル分率平衡
2025/7/16

1. 問題の内容

水180.0gにショ糖(C12H22O11C_{12}H_{22}O_{11}) 6.84gを溶解した溶液Aと、水180.0gにNaCl 5.85gを溶解した溶液Bがある。25℃における水の飽和蒸気圧は 3.13×103Pa3.13 \times 10^3 Pa である。水の分子量は18.0 g/mol, ショ糖の分子量は342 g/mol, NaClの分子量は58.5 g/molとする。
1) 溶液Aの蒸気圧 PAP_A を求めよ。
2) 溶液Bの蒸気圧 PBP_B を求めよ。
3) 2つの溶液を図のように連結したとき、蒸気はどちらの溶液からどちらへ移動するか。
4) 両方の溶液の蒸気圧が等しくなって平衡になると蒸気の移動が止まる。このとき移動した水の物質量(水蒸気量)はいくらか。

2. 解き方の手順

1) 溶液Aの蒸気圧 PAP_A の計算
* 水のモル数: nH2O=180.0 g18.0 g/mol=10 moln_{H_2O} = \frac{180.0 \ g}{18.0 \ g/mol} = 10 \ mol
* ショ糖のモル数: nC12H22O11=6.84 g342 g/mol=0.02 moln_{C_{12}H_{22}O_{11}} = \frac{6.84 \ g}{342 \ g/mol} = 0.02 \ mol
* 溶液A中の水のモル分率: xH2O=1010+0.02=1010.020.998x_{H_2O} = \frac{10}{10 + 0.02} = \frac{10}{10.02} \approx 0.998
* 溶液Aの蒸気圧: PA=xH2O×P0=0.998×3.13×103 Pa3.124×103 PaP_A = x_{H_2O} \times P_0 = 0.998 \times 3.13 \times 10^3 \ Pa \approx 3.124 \times 10^3 \ Pa
2) 溶液Bの蒸気圧 PBP_B の計算
* 水のモル数: nH2O=180.0 g18.0 g/mol=10 moln_{H_2O} = \frac{180.0 \ g}{18.0 \ g/mol} = 10 \ mol
* NaClのモル数: nNaCl=5.85 g58.5 g/mol=0.1 moln_{NaCl} = \frac{5.85 \ g}{58.5 \ g/mol} = 0.1 \ mol
NaClは水中で2つのイオン(Na+Na^+ClCl^-)に電離するため、粒子の総モル数は 0.1 mol×2=0.2 mol0.1 \ mol \times 2 = 0.2 \ mol
* 溶液B中の水のモル分率: xH2O=1010+0.2=1010.20.980x_{H_2O} = \frac{10}{10 + 0.2} = \frac{10}{10.2} \approx 0.980
* 溶液Bの蒸気圧: PB=xH2O×P0=0.980×3.13×103 Pa3.067×103 PaP_B = x_{H_2O} \times P_0 = 0.980 \times 3.13 \times 10^3 \ Pa \approx 3.067 \times 10^3 \ Pa
3) 蒸気の移動方向
蒸気圧の高い方から低い方へ移動する。PA>PBP_A > P_B なので、溶液Aから溶液Bへ移動する。
4) 移動した水の物質量の計算
平衡状態では、溶液Aと溶液Bの蒸気圧は等しくなる。溶液Aからxモルの水が溶液Bに移動したとする。
溶液A:水(10 - x) mol、ショ糖0.02 mol
溶液B:水(10 + x) mol、NaCl 0.2 mol
溶液Aの水のモル分率:xA=10x10x+0.02=10x10.02xx_{A} = \frac{10 - x}{10 - x + 0.02} = \frac{10 - x}{10.02 - x}
溶液Bの水のモル分率:xB=10+x10+x+0.2=10+x10.2+xx_{B} = \frac{10 + x}{10 + x + 0.2} = \frac{10 + x}{10.2 + x}
平衡状態では xA=xBx_A = x_B となるので、
10x10.02x=10+x10.2+x\frac{10 - x}{10.02 - x} = \frac{10 + x}{10.2 + x}
(10x)(10.2+x)=(10+x)(10.02x)(10-x)(10.2+x) = (10+x)(10.02-x)
102+10x10.2xx2=100.210x+10.02xx2102 + 10x - 10.2x - x^2 = 100.2 - 10x + 10.02x - x^2
1020.2x=100.2+0.02x102 - 0.2x = 100.2 + 0.02x
1.8=0.22x1.8 = 0.22x
x=1.80.228.18x = \frac{1.8}{0.22} \approx 8.18

3. 最終的な答え

1) 溶液Aの蒸気圧 PA3.124×103 PaP_A \approx 3.124 \times 10^3 \ Pa
2) 溶液Bの蒸気圧 PB3.067×103 PaP_B \approx 3.067 \times 10^3 \ Pa
3) 溶液Aから溶液Bへ移動する
4) 移動した水の物質量 8.18 mol\approx 8.18 \ mol

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