二つの振り子が連結された系の問題です。 (1) $\varphi = (\varphi_1, \varphi_2)^T$として、$\frac{d^2 \varphi}{dt^2} = A \varphi$の形で表すときの行列$A$を求めます。 (2) 行列$A$の2つの固有値と対応する固有ベクトルを求めます。 (3) 行列$A$を対角化することにより、$\varphi_1$と$\varphi_2$の一般解を求めます。 (4) 2つの糸の長さを$l$とすると、質点1と質点2のx座標は$x_1 \approx l \varphi_1$, $x_2 \approx l(\varphi_1 + \varphi_2)$と表せます。式(18.2)と(1)-(3)の結果を踏まえて、2つの基準振動の振動形態を図示し、説明します。

1. 問題の内容

二つの振り子が連結された系の問題です。

(1) $\varphi = (\varphi_1, \varphi_2)^T$として、$\frac{d^2 \varphi}{dt^2} = A \varphi$の形で表すときの行列$A$を求めます。

(2) 行列$A$の2つの固有値と対応する固有ベクトルを求めます。

(3) 行列$A$を対角化することにより、$\varphi_1$と$\varphi_2$の一般解を求めます。

(4) 2つの糸の長さを$l$とすると、質点1と質点2のx座標は$x_1 \approx l \varphi_1$, $x_2 \approx l(\varphi_1 + \varphi_2)$と表せます。式(18.2)と(1)-(3)の結果を踏まえて、2つの基準振動の振動形態を図示し、説明します。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式を立てます。質点1と質点2の運動方程式は、それぞれ以下のようになります。

$m l \ddot{\varphi_1} = -m g \varphi_1 + k (l \varphi_2 - l \varphi_1)$

$m l \ddot{\varphi_2} = -m g \varphi_2 - k (l \varphi_2 - l \varphi_1)$

ここで$m$は質点の質量、$l$は糸の長さ、$g$は重力加速度、$k$は糸の張力に関連する定数です。

これらの式を整理すると、以下のようになります。

$\ddot{\varphi_1} = -\frac{g}{l} \varphi_1 + \frac{k}{m} (\varphi_2 - \varphi_1)$

$\ddot{\varphi_2} = -\frac{g}{l} \varphi_2 - \frac{k}{m} (\varphi_2 - \varphi_1)$

これを行列形式で表すと、以下のようになります。

$\frac{d^2}{dt^2} \begin{pmatrix} \varphi_1 \\ \varphi_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{g}{l} - \frac{k}{m} & \frac{k}{m} \\ \frac{k}{m} & -\frac{g}{l} - \frac{k}{m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varphi_1 \\ \varphi_2 \end{pmatrix}$

したがって、$A$は

$A = \begin{pmatrix} -\frac{g}{l} - \frac{k}{m} & \frac{k}{m} \\ \frac{k}{m} & -\frac{g}{l} - \frac{k}{m} \end{pmatrix}$

(2) 行列$A$の固有値を求めます。固有方程式は$|A - \lambda I| = 0$です。

$\begin{vmatrix} -\frac{g}{l} - \frac{k}{m} - \lambda & \frac{k}{m} \\ \frac{k}{m} & -\frac{g}{l} - \frac{k}{m} - \lambda \end{vmatrix} = 0$

$(-\frac{g}{l} - \frac{k}{m} - \lambda)^2 - (\frac{k}{m})^2 = 0$

$\lambda^2 + 2(\frac{g}{l} + \frac{k}{m}) \lambda + (\frac{g}{l} + \frac{k}{m})^2 - (\frac{k}{m})^2 = 0$

$\lambda^2 + 2(\frac{g}{l} + \frac{k}{m}) \lambda + \frac{g^2}{l^2} + 2 \frac{g}{l} \frac{k}{m} = 0$

$\lambda = -(\frac{g}{l} + \frac{k}{m}) \pm \sqrt{(\frac{g}{l} + \frac{k}{m})^2 - (\frac{g^2}{l^2} + 2 \frac{g}{l} \frac{k}{m})} = -(\frac{g}{l} + \frac{k}{m}) \pm \frac{k}{m}$

固有値は$\lambda_1 = -\frac{g}{l}$と$\lambda_2 = -\frac{g}{l} - 2\frac{k}{m}$です。

固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = -\frac{g}{l}$のとき、

$\begin{pmatrix} -\frac{k}{m} & \frac{k}{m} \\ \frac{k}{m} & -\frac{k}{m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$v_1 = v_2$より、固有ベクトルは$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$です。

$\lambda_2 = -\frac{g}{l} - 2\frac{k}{m}$のとき、

$\begin{pmatrix} \frac{k}{m} & \frac{k}{m} \\ \frac{k}{m} & \frac{k}{m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$v_1 = -v_2$より、固有ベクトルは$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$です。

(3) 一般解を求めます。$\varphi(t) = c_1 v_1 e^{\sqrt{\lambda_1}t} + c_2 v_2 e^{\sqrt{\lambda_2}t}$ですが、$\lambda$が負なので、振動解となります。

$\varphi(t) = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cos(\omega_1 t + \delta_1) + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \cos(\omega_2 t + \delta_2)$

ここで$\omega_1 = \sqrt{-\lambda_1} = \sqrt{\frac{g}{l}}$、$\omega_2 = \sqrt{-\lambda_2} = \sqrt{\frac{g}{l} + 2\frac{k}{m}}$です。

したがって、

$\varphi_1(t) = c_1 \cos(\omega_1 t + \delta_1) + c_2 \cos(\omega_2 t + \delta_2)$

$\varphi_2(t) = c_1 \cos(\omega_1 t + \delta_1) - c_2 \cos(\omega_2 t + \delta_2)$

(4) 基準振動の振動形態を図示します。

* 第1モード: $\varphi_1 = \varphi_2$. 2つの振り子は同じ方向に同じ角度で振れます。このときの振動数は$\omega_1 = \sqrt{\frac{g}{l}}$です。

* 第2モード: $\varphi_1 = -\varphi_2$. 2つの振り子は逆方向に同じ角度で振れます。このときの振動数は$\omega_2 = \sqrt{\frac{g}{l} + 2\frac{k}{m}}$です。このモードは、2つの振り子をつなぐ糸の張力によって振動数が高くなります。

3. 最終的な答え

(1) $A = \begin{pmatrix} -\frac{g}{l} - \frac{k}{m} & \frac{k}{m} \\ \frac{k}{m} & -\frac{g}{l} - \frac{k}{m} \end{pmatrix}$

(2) 固有値: $\lambda_1 = -\frac{g}{l}$, $\lambda_2 = -\frac{g}{l} - 2\frac{k}{m}$

固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

(3) $\varphi_1(t) = c_1 \cos(\omega_1 t + \delta_1) + c_2 \cos(\omega_2 t + \delta_2)$

$\varphi_2(t) = c_1 \cos(\omega_1 t + \delta_1) - c_2 \cos(\omega_2 t + \delta_2)$

ここで、$\omega_1 = \sqrt{\frac{g}{l}}$, $\omega_2 = \sqrt{\frac{g}{l} + 2\frac{k}{m}}$

(4) 上記参照