質量 $m$ の質点を、速さ $v_0$ で水平に投射した。投射した時刻を $t=0$ とし、投射した位置を原点とする。水平右向きに $x$ 軸、鉛直下向きに $y$ 軸をとる。重力加速度を $g$ とする。以下の問いに答える。 (1) 質点に働く力を図に記入する。 (2) 質点の $x$ 方向の速度を $v_x$、$y$ 方向の速度を $v_y$ として運動方程式を立てる。 (3) 運動方程式を解いて、投射後 $t$ 秒のときの質点の $x$ 方向と $y$ 方向の速度を求める。 (4) 投射後 $t$ 秒のときの質点の位置 $x$, $y$ を求める。 (5) (4) の結果より、時間を消去して質点の描く軌跡を求める。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点を、速さ $v_0$ で水平に投射した。投射した時刻を $t=0$ とし、投射した位置を原点とする。水平右向きに $x$ 軸、鉛直下向きに $y$ 軸をとる。重力加速度を $g$ とする。以下の問いに答える。

(1) 質点に働く力を図に記入する。

(2) 質点の $x$ 方向の速度を $v_x$、$y$ 方向の速度を $v_y$ として運動方程式を立てる。

(3) 運動方程式を解いて、投射後 $t$ 秒のときの質点の $x$ 方向と $y$ 方向の速度を求める。

(4) 投射後 $t$ 秒のときの質点の位置 $x$, $y$ を求める。

(5) (4) の結果より、時間を消去して質点の描く軌跡を求める。

2. 解き方の手順

(1) 質点に働く力は重力のみである。図に鉛直下向きに $mg$ を記入する。

(2) $x$ 方向には力が働かないので、運動方程式は

$m \frac{dv_x}{dt} = 0$

$y$ 方向には重力が働くので、運動方程式は

$m \frac{dv_y}{dt} = mg$

(3) $x$ 方向の運動方程式を解くと、

$\frac{dv_x}{dt} = 0$

$v_x = \int 0 dt = C_1$

初期条件 $v_x(0) = v_0$ より、$C_1 = v_0$

よって、$v_x = v_0$

$y$ 方向の運動方程式を解くと、

$\frac{dv_y}{dt} = g$

$v_y = \int g dt = gt + C_2$

初期条件 $v_y(0) = 0$ より、$C_2 = 0$

よって、$v_y = gt$

(4) $x$ 方向の速度は $v_x = v_0$ なので、

$\frac{dx}{dt} = v_0$

$x = \int v_0 dt = v_0 t + C_3$

初期条件 $x(0) = 0$ より、$C_3 = 0$

よって、$x = v_0 t$

$y$ 方向の速度は $v_y = gt$ なので、

$\frac{dy}{dt} = gt$

$y = \int gt dt = \frac{1}{2} g t^2 + C_4$

初期条件 $y(0) = 0$ より、$C_4 = 0$

よって、$y = \frac{1}{2} g t^2$

(5) $x = v_0 t$ より、$t = \frac{x}{v_0}$

これを $y = \frac{1}{2} g t^2$ に代入すると、

$y = \frac{1}{2} g (\frac{x}{v_0})^2 = \frac{g}{2 v_0^2} x^2$

3. 最終的な答え

(1) 図に鉛直下向きに $mg$ を記入（省略）

(2)

$m \frac{dv_x}{dt} = 0$

$m \frac{dv_y}{dt} = mg$

(3)

$v_x = v_0$

$v_y = gt$

(4)

$x = v_0 t$

$y = \frac{1}{2} g t^2$

(5)

$y = \frac{g}{2 v_0^2} x^2$