ばね定数 $k$ のばねを水平面上に置き、一端を固定し、他端に質量 $m$ の物体を取り付けます。物体を自然長から $x_0$ だけ引き、静かに手を離した時、粘性抵抗が働き、$k > b^2/4m$($b$ は粘性抵抗の比例定数)であるとします。この時、任意の時刻 $t$ における物体の位置 $x$ を求めなさい。

応用数学力学振動微分方程式物理
2025/7/16

1. 問題の内容

ばね定数 kk のばねを水平面上に置き、一端を固定し、他端に質量 mm の物体を取り付けます。物体を自然長から x0x_0 だけ引き、静かに手を離した時、粘性抵抗が働き、k>b2/4mk > b^2/4mbb は粘性抵抗の比例定数)であるとします。この時、任意の時刻 tt における物体の位置 xx を求めなさい。

2. 解き方の手順

問題文の最後に、xx の式と tanα\tan \alpha の式が与えられています。
この与えられた式をそのまま書きます。
x=km(b2m)2x0cos(km(b2m)2tα)eb2mt x = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2} x_0 \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}t - \alpha\right) e^{-\frac{b}{2m}t}
tanα=b2mkm(b2m)2 \tan \alpha = \frac{\frac{b}{2m}}{\sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}}

3. 最終的な答え

x=km(b2m)2x0cos(km(b2m)2tα)eb2mt x = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2} x_0 \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}t - \alpha\right) e^{-\frac{b}{2m}t}
tanα=b2mkm(b2m)2 \tan \alpha = \frac{\frac{b}{2m}}{\sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}}

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