4本の導線と金属棒Lで構成された回路が、磁場中で一定速度で運動している。回路に生じる誘導起電力の大きさ、流れる電流、および金属棒Lを運動させるために必要な力を求める問題です。

応用数学電磁気学誘導起電力回路電流磁場物理
2025/7/16

1. 問題の内容

4本の導線と金属棒Lで構成された回路が、磁場中で一定速度で運動している。回路に生じる誘導起電力の大きさ、流れる電流、および金属棒Lを運動させるために必要な力を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 回路 AA"C'CA に生じる誘導起電力の大きさ:
金属棒Lが磁場中で運動することで誘導起電力が発生します。誘導起電力の大きさ VV は、
V=vBlV = vBl で表されます。ここで、vvは金属棒の速度、BBは磁束密度、llは金属棒の長さです。回路 AA"C'CA における金属棒の長さは AC=aAC = a であるため、誘導起電力は、
VAA"CCA=BavV_{AA"C'CA} = Bav となります。
(2) 回路 BB"C'CB に生じる誘導起電力の大きさ:
同様に、回路 BB"C'CB における金属棒の長さは BC=bBC = b であるため、誘導起電力は、
VBB"CCB=BbvV_{BB"C'CB} = Bbv となります。
(3) CC"間を流れる電流:
回路全体の抵抗を考えます。ABとCC'の電気抵抗は長さ1mあたり r[Ω/m]r[\Omega/m] です。CC"間を流れる電流を求めるには、回路全体の誘導起電力と抵抗を求める必要があります。全体の誘導起電力は B(a+b)vB(a+b)v となります。回路全体の抵抗は (a+b)r(a+b)r となります。よって、CC”間を流れる電流 ICC"I_{CC"} は、
ICC"=B(a+b)v(a+b)r=BvrI_{CC"} = \frac{B(a+b)v}{(a+b)r} = \frac{Bv}{r} となります。
(4) AC間を流れる電流:
AC間の抵抗は arar であり、AC間にかかる電圧は BavBav なので、IAC=Bavar=BvrI_{AC} = \frac{Bav}{ar} = \frac{Bv}{r}
(5) BC間を流れる電流:
BC間の抵抗は brbr であり、BC間にかかる電圧は BbvBbv なので、IBC=Bbvbr=BvrI_{BC} = \frac{Bbv}{br} = \frac{Bv}{r}
(6) Lを一定の速さで動かすための力の大きさ:
金属棒Lを動かすためには、誘導電流によって発生する磁気力に対抗する必要があります。磁気力の大きさ FF は、F=IBlF = IBl で表されます。ここで、II は流れる電流、BB は磁束密度、ll は金属棒の長さです。
全体の電流は Bvr\frac{Bv}{r} で、金属棒Lの長さは a+ba+b ですから、
F=BvrB(a+b)=B2v(a+b)rF = \frac{Bv}{r} B (a+b) = \frac{B^2v(a+b)}{r}

3. 最終的な答え

(1) 【35】:④ BavBav
(2) 【36】:② BbvBbv
(3) 【37】:⑥ Bvr\frac{Bv}{r}
(4) 【38】:⑥ Bvr\frac{Bv}{r}
(5) 【39】:⑥ Bvr\frac{Bv}{r}
(6) 【40】:② B2v(a+b)r\frac{B^2v(a+b)}{r}

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