問題文はM先生が出題した問題についてです。 ・$q=p^2 - 3p + 4$ (ただし $p \neq 0$) ・二次関数 $y = ax^2 + bx - p$ を、$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ 平行移動させる (ただし $a > 0$) この平行移動後の二次関数の最大値を $M$ とするとき、$M$ の最小値と、そのときの $p$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題文はM先生が出題した問題についてです。

・$q=p^2 - 3p + 4$ (ただし $p \neq 0$)

・二次関数 $y = ax^2 + bx - p$ を、$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ 平行移動させる (ただし $a > 0$)

この平行移動後の二次関数の最大値を $M$ とするとき、$M$ の最小値と、そのときの $p$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二次関数 $y = ax^2 + bx - p$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ 平行移動させる。

$x$ を $x-p$ に、$y$ を $y-q$ に置き換える。

$y - q = a(x - p)^2 + b(x - p) - p$

$y = a(x - p)^2 + b(x - p) - p + q$

$y = a(x^2 - 2px + p^2) + bx - bp - p + q$

$y = ax^2 - 2apx + ap^2 + bx - bp - p + q$

$y = ax^2 + (b - 2ap)x + ap^2 - bp - p + q$

(2) $a > 0$ より、上に凸であることから最大値は頂点ではなく、問題文に誤りがあると考えられます。

$y = ax^2 + bx - p$ は下に凸である必要があります。

上に凸である場合、最大値は存在せず、問題文の条件が満たされません。

$a > 0$ とすると、問題文から「最大値」という言葉は不適切です。

ここでは、与えられた二次関数の最小値について議論します。

(3) 平行移動後の式を平方完成する。

$y = ax^2 + (b-2ap)x + ap^2 - bp - p + q$

$y = a\left(x + \frac{b-2ap}{2a}\right)^2 - \frac{(b-2ap)^2}{4a} + ap^2 - bp - p + q$

最小値 $M = -\frac{(b-2ap)^2}{4a} + ap^2 - bp - p + q$

(4) $q = p^2 - 3p + 4$ を代入する。

$M = -\frac{(b-2ap)^2}{4a} + ap^2 - bp - p + p^2 - 3p + 4$

$M = -\frac{(b-2ap)^2}{4a} + ap^2 - bp - 4p + p^2 + 4$

$M = -\frac{b^2 - 4abp + 4a^2p^2}{4a} + ap^2 - bp - 4p + p^2 + 4$

$M = -\frac{b^2}{4a} + bp - a p^2 + ap^2 - bp - 4p + p^2 + 4$

$M = p^2 - 4p + 4 - \frac{b^2}{4a}$

$M = (p - 2)^2 - \frac{b^2}{4a}$

(5) $M$ を最小にする $p$ の値を求める。

$p \neq 0$ なので、 $p=2$ を取ることが可能です。

$M$ は $p=2$ のとき最小となり、$M = - \frac{b^2}{4a}$

ただし、$p \neq 0$ なので、$p=0$ のときを考える必要があります。

$M(0) = 4 - \frac{b^2}{4a}$

したがって、$M$ の最小値は、定義域によって異なります。

$p = 2$ のとき最小値をとるので、この時、$p = 2$

そして、その時の$M$の値は、$M = - \frac{b^2}{4a}$

3. 最終的な答え

$p = 2$ のとき、$M$ の最小値は $-\frac{b^2}{4a}$