この問題は、大きく分けて2つの部分から構成されています。 (問1) は、5つの方程式を解く問題です。 (問2) は、二次関数 $y = x^2 + 2ax + a^2 + 1$ について、条件を満たす $a$ の範囲や直線の式を求める問題です。

## 問題の回答

1. 問題の内容

この問題は、大きく分けて2つの部分から構成されています。

(問1) は、5つの方程式を解く問題です。

(問2) は、二次関数 $y = x^2 + 2ax + a^2 + 1$ について、条件を満たす $a$ の範囲や直線の式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(問1)

(1) $3x^2 + 4x + 5 = 0$

解の公式を用いると、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 60}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{-44}}{6} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{11}i}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{11}i}{3}$

(2) $x^2 + 4\sqrt{2}x + 8 = 0$

$(x + 2\sqrt{2})^2 = 0$

$x = -2\sqrt{2}$

(3) $x^4 - 6x^2 + 1 = 0$

$x^2 = t$ とおくと、$t^2 - 6t + 1 = 0$

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$

$x^2 = 3 \pm 2\sqrt{2}$

$x = \pm \sqrt{3 \pm 2\sqrt{2}} = \pm (\sqrt{2} \pm 1)$

$x = \sqrt{2} + 1, \sqrt{2} - 1, -\sqrt{2} - 1, -\sqrt{2} + 1$

(4) $(x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x) + 4 = 0$

$x^2 - 2x = t$ とおくと、$t^2 + 4t + 4 = 0$

$(t+2)^2 = 0$

$t = -2$

$x^2 - 2x = -2$

$x^2 - 2x + 2 = 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$

(5) $ax^2 = bx$

$ax^2 - bx = 0$

$x(ax - b) = 0$

$x = 0, \frac{b}{a}$ (ただし、$a \neq 0$)

(問2)

(1) $y = x^2 + 2ax + a^2 + 1$ と $y = ax + 5$ が異なる2点で交わる条件は、

$x^2 + 2ax + a^2 + 1 = ax + 5$

$x^2 + (2a - a)x + a^2 - 4 = 0$

$x^2 + ax + a^2 - 4 = 0$

判別式 $D = a^2 - 4(a^2 - 4) > 0$

$a^2 - 4a^2 + 16 > 0$

$-3a^2 + 16 > 0$

$3a^2 < 16$

$a^2 < \frac{16}{3}$

$-\frac{4}{\sqrt{3}} < a < \frac{4}{\sqrt{3}}$

$-\frac{4\sqrt{3}}{3} < a < \frac{4\sqrt{3}}{3}$

(2) $y = x^2 + 2ax + a^2 + 1 = (x+a)^2 + 1$ の頂点は $(-a, 1)$。

頂点でのみ交わる直線は、頂点を通る直線なので、傾きが$a$に等しくない直線。

$y=ax+5$ は $y=x+5$の傾きが1なので頂点を共有しない。

よって、$y = k(x+a) + 1$ とすると、

$y = kx + ka + 1$ で、これは $y = x^2 + 2ax + a^2 + 1$ と頂点でのみ交わる直線の方程式を表します。

3. 最終的な答え

(問1)

(1) $x = \frac{-2 \pm \sqrt{11}i}{3}$

(2) $x = -2\sqrt{2}$

(3) $x = \pm (\sqrt{2} \pm 1)$ つまり、$x = \sqrt{2} + 1, \sqrt{2} - 1, -\sqrt{2} - 1, -\sqrt{2} + 1$

(4) $x = 1 \pm i$

(5) $x = 0, \frac{b}{a}$ (ただし、$a \neq 0$)

(問2)

(1) $-\frac{4\sqrt{3}}{3} < a < \frac{4\sqrt{3}}{3}$

(2) $y=kx+ka+1$ ($k \neq a$)