$x^3 + y^3 + z^3$ の因数分解を求めよ。

1. 問題の内容

$x^3 + y^3 + z^3$ の因数分解を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式 $x^3 + y^3 + z^3$ を因数分解する。

まず、$x^3 + y^3$ の部分に因数分解の公式を適用する。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

これを用いて、与えられた式を変形する。

$x^3 + y^3 + z^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) + z^3$

ここで、$x+y = -z$ のとき、すなわち $x+y+z=0$ のときを考える。

このとき、

$(x+y)(x^2 - xy + y^2) + z^3 = (-z)(x^2 - xy + y^2) + z^3 = -zx^2 + zxy - zy^2 + z^3 = 0$

$z(x^2 - xy + y^2 - z^2) = 0$

この条件のもとで、$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ が成り立つ。

恒等式

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$

を用いると、$x+y+z=0$ のとき、

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0$

したがって、

$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$

より一般的な式変形を考えると、

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$

なので、因数分解は

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$

$x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) + 3xyz$

3. 最終的な答え

$x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) + 3xyz$

または、$x+y+z=0$ のとき、$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$