次の確率・組み合わせの問題を解く。 (1) 25人から議長、副議長、書記を各1人選ぶ方法 (2) 異なる7個の玉でブレスレットを作る方法 (3) 6人から選ばれた4人が円形に並ぶ方法 (4) 10チームで総当たり戦を行う試合数 (5) $x + y + z = 10$を満たす自然数x, y, zの組の個数

1. 問題の内容

次の確率・組み合わせの問題を解く。

(1) 25人から議長、副議長、書記を各1人選ぶ方法

(2) 異なる7個の玉でブレスレットを作る方法

(3) 6人から選ばれた4人が円形に並ぶ方法

(4) 10チームで総当たり戦を行う試合数

(5) $x + y + z = 10$を満たす自然数x, y, zの組の個数

2. 解き方の手順

(1) 議長、副議長、書記の選び方は順列で計算する。

$25P3 = 25 \times 24 \times 23$

(2) 7個の玉の並び方は円順列で、さらに裏返しにしても同じなので2で割る。

$(7-1)! / 2 = 6! / 2$

(3) 4人の円順列なので、$(4-1)!$で計算する。

(4) 10チームから2チームを選ぶ組み合わせを計算する。

$10C2 = 10! / (2! \times 8!)$

(5) $x+y+z=10$を満たす自然数x, y, zの組の個数を求める。まず、x, y, zに1をあらかじめ割り当て、$x' = x-1, y' = y-1, z' = z-1$と置くと、$x'+y'+z' = 7$を満たす非負整数解の数を求める問題となる。これは、7個の〇と2本の仕切りの並べ方の総数と同じであり、$9C2$で計算できる。

3. 最終的な答え

(1) $25 \times 24 \times 23 = 13800$ 通り

(2) $6! / 2 = 720 / 2 = 360$ 通り

(3) $(4-1)! = 3! = 6$ 通り

(4) $10C2 = 10 \times 9 / 2 = 45$ 試合

(5) $9C2 = 9 \times 8 / 2 = 36$ 個