二次関数 $y = ax^2 + bx - p$ (ただし $a < 0$) を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ 平行移動させたときの最大値を $M$ とする。ここで $q = p^2 - 3p + 4$ である。このとき、$M$ の最小値を求め、またそのときの $p$ の値を求めよ。ただし、$p \ne 0$ とする。

1. 問題の内容

二次関数 $y = ax^2 + bx - p$ (ただし $a < 0$) を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ 平行移動させたときの最大値を $M$ とする。ここで $q = p^2 - 3p + 4$ である。このとき、$M$ の最小値を求め、またそのときの $p$ の値を求めよ。ただし、$p \ne 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$y = ax^2 + bx - p$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ 平行移動させた関数を求める。

平行移動後の関数は、

$y - q = a(x - p)^2 + b(x - p) - p$

$y = a(x - p)^2 + b(x - p) - p + q$

$y = a(x^2 - 2px + p^2) + bx - bp - p + p^2 - 3p + 4$

$y = ax^2 - 2apx + ap^2 + bx - bp - p + p^2 - 3p + 4$

$y = ax^2 + (b - 2ap)x + ap^2 - bp + p^2 - 4p + 4$

次に、この関数の最大値 $M$ を求める。

平方完成すると、

$y = a\left(x + \frac{b - 2ap}{2a}\right)^2 - a\left(\frac{b - 2ap}{2a}\right)^2 + ap^2 - bp + p^2 - 4p + 4$

$y = a\left(x + \frac{b - 2ap}{2a}\right)^2 - \frac{(b - 2ap)^2}{4a} + ap^2 - bp + p^2 - 4p + 4$

$y = a\left(x + \frac{b - 2ap}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4abp + 4a^2p^2}{4a} + ap^2 - bp + p^2 - 4p + 4$

最大値 $M$ は、

$M = - \frac{b^2 - 4abp + 4a^2p^2}{4a} + ap^2 - bp + p^2 - 4p + 4$

$M = -\frac{b^2}{4a} + bp - a p^2 + ap^2 - bp + p^2 - 4p + 4$

$M = p^2 - 4p + 4 - \frac{b^2}{4a}$

$M = (p - 2)^2 - \frac{b^2}{4a}$

ここで、$\frac{b^2}{4a}$ は定数なので、$M$ を最小にする $p$ は $p = 2$ のときである。

このとき $M$ の最小値は

$M = -\frac{b^2}{4a}$

$p = 2$ は $p \ne 0$ を満たす。

3. 最終的な答え

$M$ の最小値は $-\frac{b^2}{4a}$ であり、そのときの $p$ の値は $2$ である。