与えられた数学の問題を解く。問題は以下の通り。 (1) $(x-2)^2$ を展開する。 (2) $|-2| - |-5| + |7|$ を計算する。 (3) $|1 - \sqrt{5}| + |2 - \sqrt{5}|$ を計算する。 (4) $\frac{1}{3 + \sqrt{5}}$ の分母を有理化する。 (5) $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ の分母を有理化する。 (6) 不等式 $\frac{3x - 1}{2} > \frac{2}{3}x - 5$ を解く。 (7) 2次方程式 $2x^2 + 5x - 3 = 0$ を解く。 (8) xは実数とする。「$x^2 = 13$」は「$x = \sqrt{13}$」であるための必要条件、十分条件のどれに当てはまるか答える。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解く。問題は以下の通り。

(1) $(x-2)^2$ を展開する。

(2) $|-2| - |-5| + |7|$ を計算する。

(3) $|1 - \sqrt{5}| + |2 - \sqrt{5}|$ を計算する。

(4) $\frac{1}{3 + \sqrt{5}}$ の分母を有理化する。

(5) $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ の分母を有理化する。

(6) 不等式 $\frac{3x - 1}{2} > \frac{2}{3}x - 5$ を解く。

(7) 2次方程式 $2x^2 + 5x - 3 = 0$ を解く。

(8) xは実数とする。「$x^2 = 13$」は「$x = \sqrt{13}$」であるための必要条件、十分条件のどれに当てはまるか答える。

2. 解き方の手順

(1) $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$

(2) $|-2| - |-5| + |7| = 2 - 5 + 7 = 4$

(3) $|1 - \sqrt{5}| + |2 - \sqrt{5}| = (\sqrt{5} - 1) + (\sqrt{5} - 2) = 2\sqrt{5} - 3$

(4) $\frac{1}{3 + \sqrt{5}} = \frac{1}{3 + \sqrt{5}} \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = \frac{3 - \sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

(5) $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{4 + 4\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{2} = 3 + 2\sqrt{2}$

(6) $\frac{3x - 1}{2} > \frac{2}{3}x - 5$

$3(3x - 1) > 2(2x - 15)$

$9x - 3 > 4x - 30$

$5x > -27$

$x > -\frac{27}{5}$

(7) $2x^2 + 5x - 3 = 0$

$(2x - 1)(x + 3) = 0$

$x = \frac{1}{2}, -3$

(8) $x^2 = 13$ ならば $x = \pm \sqrt{13}$ である。

$x = \sqrt{13}$ ならば $x^2 = 13$ である。

「$x^2 = 13$」は「$x = \sqrt{13}$」であるための必要条件であるが十分条件ではない。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 4x + 4$

(2) $4$

(3) $2\sqrt{5} - 3$

(4) $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

(5) $3 + 2\sqrt{2}$

(6) $x > -\frac{27}{5}$

(7) $x = \frac{1}{2}, -3$

(8) ② 必要条件であるが十分条件でない