この問題は整数に関する基本的な問題です。 (1) 9991と9797の最大公約数を求める。 (2) 不定方程式 $52x - 37y = 1$ の整数解をすべて求める。 (3) 等式 $3x + 5y = 48$ を満たす正の整数 $x, y$ の組をすべて求める。 (4) 3進数 $2012_{(3)}$ を10進法で表す。10進数118を2進法で表す。10進数1.52を5進法で表す。

1. 問題の内容

この問題は整数に関する基本的な問題です。

(1) 9991と9797の最大公約数を求める。

(2) 不定方程式 $52x - 37y = 1$ の整数解をすべて求める。

(3) 等式 $3x + 5y = 48$ を満たす正の整数 $x, y$ の組をすべて求める。

(4) 3進数 $2012_{(3)}$ を10進法で表す。10進数118を2進法で表す。10進数1.52を5進法で表す。

2. 解き方の手順

(1) ユークリッドの互除法を用いて、9991と9797の最大公約数を求める。

$9991 = 9797 \times 1 + 194$

$9797 = 194 \times 50 + 97$

$194 = 97 \times 2 + 0$

よって、最大公約数は97。

(2) 不定方程式 $52x - 37y = 1$ の整数解を求める。

まず、特殊解を一つ見つける。

$52x - 37y = 1$

$52 = 37 \times 1 + 15$

$37 = 15 \times 2 + 7$

$15 = 7 \times 2 + 1$

$1 = 15 - 7 \times 2 = 15 - (37 - 15 \times 2) \times 2 = 15 \times 5 - 37 \times 2 = (52 - 37 \times 1) \times 5 - 37 \times 2 = 52 \times 5 - 37 \times 7$

よって、$52 \times 5 - 37 \times 7 = 1$

したがって、$x = 5, y = 7$ が特殊解の一つである。

$52x - 37y = 1$

$52 \times 5 - 37 \times 7 = 1$

辺々引くと、

$52(x - 5) - 37(y - 7) = 0$

$52(x - 5) = 37(y - 7)$

52と37は互いに素なので、

$x - 5 = 37k, y - 7 = 52k$ (kは整数)

$x = 37k + 5, y = 52k + 7$

(3) $3x + 5y = 48$ を満たす正の整数 $x, y$ の組を求める。

$3x = 48 - 5y$

$x = \frac{48 - 5y}{3} = 16 - \frac{5}{3}y$

$x$ が整数であるためには、$y$ が3の倍数である必要がある。

$y = 3k$とおくと、$x = 16 - 5k$

$x, y$ は正の整数なので、

$16 - 5k > 0$ かつ $3k > 0$

$5k < 16$ より、$k < \frac{16}{5} = 3.2$

$k > 0$

よって、$k = 1, 2, 3$

$k = 1$ のとき、$x = 16 - 5 = 11, y = 3$

$k = 2$ のとき、$x = 16 - 10 = 6, y = 6$

$k = 3$ のとき、$x = 16 - 15 = 1, y = 9$

したがって、$(x, y) = (11, 3), (6, 6), (1, 9)$

(4) 3進数 $2012_{(3)}$ を10進法で表す。

$2012_{(3)} = 2 \times 3^3 + 0 \times 3^2 + 1 \times 3^1 + 2 \times 3^0 = 2 \times 27 + 0 + 3 + 2 = 54 + 3 + 2 = 59$

10進数118を2進法で表す。

$118 = 64 + 32 + 16 + 4 + 2 = 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^2 + 2^1 = 1110110_{(2)}$

10進数1.52を5進法で表す。

$1.52 = 1 + 0.52$

$0.52 \times 5 = 2.6$

$0.6 \times 5 = 3.0$

よって、$1.52 = 1.23_{(5)}$

3. 最終的な答え

(1) 97

(2) $x = 37k + 5, y = 52k + 7$ (kは整数)

(3) $(x, y) = (11, 3), (6, 6), (1, 9)$

(4) ア: 59, イ: $1110110_{(2)}$, ウ: $1.23_{(5)}$