与えられた二次関数の頂点、平行移動、最大値、グラフとx軸の共有点の個数、二次不等式の解を求める問題です。具体的には以下の7つの小問があります。 (1) $y = 2x^2 + 4x - 5$ のグラフの頂点を求める。 (2) $y = 2x^2$ のグラフをx軸方向に3、y軸方向に-1だけ平行移動させたグラフの式を求める。 (3) $y = -x^2 + 6x$ の最大値を求める。 (4) $y = 3x^2 - 5x + 2$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。 (5) $y = -2x^2 + x - 4$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。 (6) $x^2 + 6x - 16 \leq 0$ の解を求める。 (7) $x^2 - x - 6 > 0$ の解を求める。

1. 問題の内容

与えられた二次関数の頂点、平行移動、最大値、グラフとx軸の共有点の個数、二次不等式の解を求める問題です。具体的には以下の7つの小問があります。

(1) $y = 2x^2 + 4x - 5$ のグラフの頂点を求める。

(2) $y = 2x^2$ のグラフをx軸方向に3、y軸方向に-1だけ平行移動させたグラフの式を求める。

(3) $y = -x^2 + 6x$ の最大値を求める。

(4) $y = 3x^2 - 5x + 2$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。

(5) $y = -2x^2 + x - 4$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。

(6) $x^2 + 6x - 16 \leq 0$ の解を求める。

(7) $x^2 - x - 6 > 0$ の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点を求めるために、平方完成を行います。

$y = 2x^2 + 4x - 5 = 2(x^2 + 2x) - 5 = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 5 = 2(x+1)^2 - 2 - 5 = 2(x+1)^2 - 7$

よって、頂点は $(-1, -7)$ です。

(2) x軸方向に3、y軸方向に-1だけ平行移動させるには、$x$ を $x-3$ に、$y$ を $y+1$ に置き換えます。

$y + 1 = 2(x-3)^2$

$y = 2(x-3)^2 - 1 = 2(x^2 - 6x + 9) - 1 = 2x^2 - 12x + 18 - 1 = 2x^2 - 12x + 17$

(3) 最大値を求めるために、平方完成を行います。

$y = -x^2 + 6x = -(x^2 - 6x) = -(x^2 - 6x + 9 - 9) = -(x-3)^2 + 9$

よって、最大値は $9$ です。

(4) 共有点の個数を求めるために、判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算します。

$y = 3x^2 - 5x + 2$ に対して、$a = 3, b = -5, c = 2$ なので、$D = (-5)^2 - 4(3)(2) = 25 - 24 = 1 > 0$

判別式が正なので、共有点は2個です。

(5) 共有点の個数を求めるために、判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算します。

$y = -2x^2 + x - 4$ に対して、$a = -2, b = 1, c = -4$ なので、$D = (1)^2 - 4(-2)(-4) = 1 - 32 = -31 < 0$

判別式が負なので、共有点は0個です。

(6) $x^2 + 6x - 16 \leq 0$ を解きます。

$(x+8)(x-2) \leq 0$

よって、$-8 \leq x \leq 2$ です。

(7) $x^2 - x - 6 > 0$ を解きます。

$(x-3)(x+2) > 0$

よって、$x < -2$ または $x > 3$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(-1, -7)$

(2) $y = 2x^2 - 12x + 17$

(3) $9$

(4) $2$ 個

(5) $0$ 個

(6) $-8 \leq x \leq 2$

(7) $x < -2$ または $x > 3$