5つの二次関数に関する問題です。 (1) グラフが3点(1,0), (0,1), (-1,6)を通る2次関数を求める。 (2) グラフが3点(3,0), (0,-9), (-2,5)を通る2次関数を求める。 (3) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が-2のとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最大値を求める。 (4) 2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ ($-2 \le x \le 1$) の最大値が9のとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最小値を求める。 (5) 2次関数 $y = x^2 - (a-1)x + 4$ のグラフがx軸と接するとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

5つの二次関数に関する問題です。

(1) グラフが3点(1,0), (0,1), (-1,6)を通る2次関数を求める。

(2) グラフが3点(3,0), (0,-9), (-2,5)を通る2次関数を求める。

(3) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が-2のとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最大値を求める。

(4) 2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ ($-2 \le x \le 1$) の最大値が9のとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最小値を求める。

(5) 2次関数 $y = x^2 - (a-1)x + 4$ のグラフがx軸と接するとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

3点の座標を代入して連立方程式を解く。

(1,0)を代入: $a + b + c = 0$

(0,1)を代入: $c = 1$

(-1,6)を代入: $a - b + c = 6$

$c = 1$ を代入すると、

$a + b + 1 = 0$

$a - b + 1 = 6$

整理すると、

$a + b = -1$

$a - b = 5$

2式を足すと $2a = 4$ より $a = 2$。

$b = -1 - a = -1 - 2 = -3$

よって、$y = 2x^2 - 3x + 1$

(2) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

3点の座標を代入して連立方程式を解く。

(3,0)を代入: $9a + 3b + c = 0$

(0,-9)を代入: $c = -9$

(-2,5)を代入: $4a - 2b + c = 5$

$c = -9$ を代入すると、

$9a + 3b - 9 = 0$

$4a - 2b - 9 = 5$

整理すると、

$9a + 3b = 9$ → $3a + b = 3$

$4a - 2b = 14$ → $2a - b = 7$

2式を足すと $5a = 10$ より $a = 2$。

$b = 3 - 3a = 3 - 6 = -3$

よって、$y = 2x^2 - 3x - 9$

(3) $y = x^2 - 6x + a = (x - 3)^2 - 9 + a$

$1 \le x \le 4$ なので、頂点 $x = 3$ は範囲内。

最小値は $x = 3$ のときで、$-9 + a = -2$ より $a = 7$

$y = (x - 3)^2 - 2$

最大値は、$x = 1$ のときで、$y = (1 - 3)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

よって、$a = 7$, 最大値は $2$

(4) $y = x^2 + 2x + 2a = (x + 1)^2 - 1 + 2a$

$-2 \le x \le 1$ なので、頂点 $x = -1$ は範囲内。

最大値は、$x = 1$ のときで、$y = (1 + 1)^2 - 1 + 2a = 4 - 1 + 2a = 3 + 2a = 9$

$2a = 6$ より $a = 3$

$y = (x + 1)^2 - 1 + 6 = (x + 1)^2 + 5$

最小値は、$x = -1$ のときで、$y = (-1 + 1)^2 + 5 = 5$

よって、$a = 3$, 最小値は $5$

(5) $y = x^2 - (a - 1)x + 4$ がx軸と接するとき、判別式 $D = 0$

$D = (a - 1)^2 - 4(1)(4) = (a - 1)^2 - 16 = 0$

$(a - 1)^2 = 16$

$a - 1 = \pm 4$

$a = 1 \pm 4$

$a = 5, -3$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 3x + 1$

(2) $y = 2x^2 - 3x - 9$

(3) $a = 7$, 最大値は $2$

(4) $a = 3$, 最小値は $5$

(5) $a = 5, -3$