与えられた不等式を解く問題です。 不等式は $(\frac{1}{4})^x - 9(\frac{1}{2})^{x-1} + 32 \le 0$ です。

1. 問題の内容

与えられた不等式を解く問題です。

不等式は $(\frac{1}{4})^x - 9(\frac{1}{2})^{x-1} + 32 \le 0$ です。

2. 解き方の手順

まず、$(\frac{1}{4})^x$ を $(\frac{1}{2})^{2x}$ と書き換えます。また、$(\frac{1}{2})^{x-1}$ を $(\frac{1}{2})^x \cdot (\frac{1}{2})^{-1} = 2 (\frac{1}{2})^x$ と書き換えます。

すると不等式は、

$(\frac{1}{2})^{2x} - 9 \cdot 2 (\frac{1}{2})^x + 32 \le 0$

となります。

$(\frac{1}{2})^x = t$ と置換すると、$t > 0$ であり、不等式は

$t^2 - 18t + 32 \le 0$

となります。

この2次不等式を解きます。まず、$t^2 - 18t + 32 = 0$ の解を求めます。

$(t-2)(t-16) = 0$ より、$t=2, 16$ です。

したがって、$t^2 - 18t + 32 \le 0$ の解は $2 \le t \le 16$ です。

$t = (\frac{1}{2})^x$ を代入して、$2 \le (\frac{1}{2})^x \le 16$ となります。

$2 \le (\frac{1}{2})^x$ より、$2^1 \le 2^{-x}$ となり、底が1より大きいので $1 \le -x$ となり、$x \le -1$ です。

$(\frac{1}{2})^x \le 16$ より、$2^{-x} \le 2^4$ となり、底が1より大きいので $-x \le 4$ となり、$x \ge -4$ です。

したがって、$-4 \le x \le -1$ が解となります。

3. 最終的な答え

$-4 \le x \le -1$