$\alpha$, $\beta$ の動径がともに第4象限にあり, $\sin \alpha = -\frac{5}{13}$, $\cos \beta = \frac{3}{5}$ のとき, 次の値を求めよ. (1) $\sin(\alpha - \beta)$ (2) $\cos(\alpha + \beta)$

1. 問題の内容

$\alpha$, $\beta$ の動径がともに第4象限にあり, $\sin \alpha = -\frac{5}{13}$, $\cos \beta = \frac{3}{5}$ のとき, 次の値を求めよ.

(1) $\sin(\alpha - \beta)$

(2) $\cos(\alpha + \beta)$

2. 解き方の手順

まず, $\cos \alpha$ と $\sin \beta$ の値を求める. 第4象限では $\cos$ は正, $\sin$ は負である.

$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ より,

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$.

$\alpha$ は第4象限の角なので, $\cos \alpha > 0$. よって,

$\cos \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

$\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1$ より,

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

$\beta$ は第4象限の角なので, $\sin \beta < 0$. よって,

$\sin \beta = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

(1) $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

$= (-\frac{5}{13})(\frac{3}{5}) - (\frac{12}{13})(-\frac{4}{5}) = -\frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{33}{65}$.

(2) $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$= (\frac{12}{13})(\frac{3}{5}) - (-\frac{5}{13})(-\frac{4}{5}) = \frac{36}{65} - \frac{20}{65} = \frac{16}{65}$.

3. 最終的な答え

(1) $\sin(\alpha - \beta) = \frac{33}{65}$

(2) $\cos(\alpha + \beta) = \frac{16}{65}$