関数 $y = \frac{(1-x)^3}{1-2x}$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{(1-x)^3}{1-2x}$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、$y'$ を求めます。商の微分公式を使います。

$y' = \frac{3(1-x)^2(-1)(1-2x) - (1-x)^3(-2)}{(1-2x)^2}$

$= \frac{-3(1-x)^2(1-2x) + 2(1-x)^3}{(1-2x)^2}$

$= \frac{(1-x)^2[-3(1-2x) + 2(1-x)]}{(1-2x)^2}$

$= \frac{(1-x)^2[-3+6x + 2 - 2x]}{(1-2x)^2}$

$= \frac{(1-x)^2(4x-1)}{(1-2x)^2}$

次に、$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$y' = 0$ となるのは、分子が0になるときなので、

$(1-x)^2(4x-1) = 0$ より、 $x=1$ または $x=\frac{1}{4}$ です。

また、$y'$ が定義されない $x$ の値は、$1-2x=0$ より $x = \frac{1}{2}$ です。

$x$の値の範囲を考慮して増減表を作成します。増減表は次のようになります。

| $x$ | $x<\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}<x<\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}<x<1$ | $1$ | $x>1$ |

|-------|-----------------|-----------------|------------------------------|-----------------|------------------------------|-----|-------|

| $y'$ | $+$ | $0$ | $-$ | 定義されない | $-$ | $0$ | $-$ |

| $y$ | 増加 | 極大 | 減少 | 定義されない | 減少 | $0$ | 減少 |

$x = \frac{1}{4}$ のとき、$y = \frac{(1-\frac{1}{4})^3}{1-2(\frac{1}{4})} = \frac{(\frac{3}{4})^3}{\frac{1}{2}} = \frac{27}{64} \times 2 = \frac{27}{32}$

$x = 1$ のとき、$y = \frac{(1-1)^3}{1-2(1)} = \frac{0}{-1} = 0$

したがって、 $x=\frac{1}{4}$ で極大値 $y = \frac{27}{32}$ をとり、 $x=1$ で極値は持たない（$y'$ の符号が変化しないため）。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{4}$ で極大値 $\frac{27}{32}$ をとる。