三角形$ABC$において、辺$AB$の中点を$D$、辺$AC$の中点を$E$とする。線分$BE$と線分$CD$の交点を$P$とする。三角形$PDE$の面積が$5 cm^2$のとき、三角形$ABC$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形$ABC$において、辺$AB$の中点を$D$、辺$AC$の中点を$E$とする。線分$BE$と線分$CD$の交点を$P$とする。三角形$PDE$の面積が$5 cm^2$のとき、三角形$ABC$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$P$は三角形$ABC$の重心である。したがって、$AP$の中点を$M$とおくと、$M$は$BC$の中点でもある。重心は中線を$2:1$に内分するので、$AP:PM = BP:PE = CP:PD = 2:1$となる。

三角形$ADE$と三角形$ABC$について、$AD = \frac{1}{2}AB$、$AE = \frac{1}{2}AC$、$∠A = ∠A$なので、三角形$ADE$と三角形$ABC$は相似であり、相似比は$1:2$である。したがって、$DE = \frac{1}{2}BC$となる。

三角形$ABC$の面積を$S$とすると、三角形$ADE$の面積は$\frac{1}{4}S$となる。

$PD = \frac{1}{3}CD$、$PE = \frac{1}{3}BE$である。

三角形$PDE$の面積は5 $cm^2$である。

三角形$CDE$の面積は、三角形$ADE$の面積の$\frac{CD}{AD} = 1$。

三角形$BDE$の面積は、三角形$ADE$の面積の$\frac{BE}{AE} = 1$。

$△ADE = \frac{1}{4}△ABC$

$DP : DC = 1:3$, $EP : EB = 1:3$ であるから、

$△ADE = \frac{1}{4}△ABC$,

$△PDE = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times △BCE = \frac{1}{9}△BCE = 5$.

$△BCE = 45$,

$△ABC = 2△BCE$ だから $△ABC = 90 cm^2$.

$△PDE$の面積を$x$とおくと、$△PDE : △PCE = PD : PC = 1:2$ なので、$△PCE = 2x$.

$△BPD = △PCE = 2x$.

$△BPE : △PDE = PE:DE$.

$△ADP = △AEP$.

$△ABC$の面積は$12x$.

$△PDE = 5 cm^2$なので、$△ABC = 12 \times 5/1 = 60 cm^2$.

また、メネラウスの定理より、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BP}{PE} \cdot \frac{EC}{CA} = 1$

$\frac{1}{1} \cdot \frac{BP}{PE} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BP}{PE} = 2$

$\frac{CP}{PD} = 2$

$△PDE$の面積は5なので、$△PBC = 4 \times 5 = 20$。

$△DBP = △ECP$

$△BCE = \frac{1}{2} △ABC$

$△CDB = \frac{1}{2} △ABC$

$△BCE - △PCE = △PBC$

$\frac{1}{2} △ABC - △PCE = △PBC$

$\frac{1}{2} △ABC - \frac{1}{3} △BCE = △PBC$

$△ABC = 36$

$PDE \sim ABC$

$PD:BC = 1:6$

3. 最終的な答え

$60 cm^2$