与えられた数を虚数単位 $i$ を用いて表す問題です。具体的には、 (1) $\sqrt{-2}$ (2) $\sqrt{-11}$ (3) $\sqrt{-25}$ (4) $-49$の平方根 をそれぞれ $i$ を用いて表します。

1. 問題の内容

与えられた数を虚数単位 $i$ を用いて表す問題です。具体的には、

(1) $\sqrt{-2}$

(2) $\sqrt{-11}$

(3) $\sqrt{-25}$

(4) $-49$の平方根

をそれぞれ $i$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

虚数単位 $i$ は $i^2 = -1$ を満たす数です。したがって、$\sqrt{-1} = i$ となります。

これを利用して、与えられた数を変形していきます。

(1) $\sqrt{-2} = \sqrt{2 \cdot (-1)} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{2}i$

(2) $\sqrt{-11} = \sqrt{11 \cdot (-1)} = \sqrt{11} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{11}i$

(3) $\sqrt{-25} = \sqrt{25 \cdot (-1)} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{-1} = 5i$

(4) $-49$ の平方根は、2乗すると $-49$ になる数です。つまり、$x^2 = -49$ を満たす $x$ を求めます。

$x^2 = -49$

$x^2 = 49 \cdot (-1)$

$x = \pm \sqrt{49 \cdot (-1)} = \pm \sqrt{49} \cdot \sqrt{-1} = \pm 7i$

したがって、$-49$ の平方根は $7i$ と $-7i$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{-2} = \sqrt{2}i$

(2) $\sqrt{-11} = \sqrt{11}i$

(3) $\sqrt{-25} = 5i$

(4) $-49$の平方根は $7i, -7i$