与えられた条件について、必要条件、十分条件、必要十分条件のいずれかを判断する問題です。 (1) $x = y$ であることは、$x^2 = y^2$ であるための何条件か。 (2) $xy$ が有理数であることは、$x$ と $y$ がともに有理数であるための何条件か。 (3) $m$ と $n$ がともに奇数であることは、$3mn$ が奇数であるための何条件か。

1. 問題の内容

与えられた条件について、必要条件、十分条件、必要十分条件のいずれかを判断する問題です。

(1) $x = y$ であることは、$x^2 = y^2$ であるための何条件か。

(2) $xy$ が有理数であることは、$x$ と $y$ がともに有理数であるための何条件か。

(3) $m$ と $n$ がともに奇数であることは、$3mn$ が奇数であるための何条件か。

2. 解き方の手順

(1) $x = y \implies x^2 = y^2$ は真です。なぜなら、$x = y$ の両辺を2乗すれば、$x^2 = y^2$ となるからです。

$x^2 = y^2 \implies x = y$ は偽です。反例として、$x = 1, y = -1$ があります。このとき、$x^2 = 1$ で、$y^2 = 1$ なので、$x^2 = y^2$ は成り立ちますが、$x = y$ ではありません。

したがって、$x=y$であることは、$x^2 = y^2$であるための十分条件であるが必要条件ではありません。

(2) $x$ と $y$ がともに有理数 $\implies xy$ が有理数 は真です。有理数同士の積は有理数だからです。

$xy$ が有理数 $\implies x$ と $y$ がともに有理数 は偽です。反例として、$x = \sqrt{2}, y = \sqrt{2}$ があります。このとき、$xy = 2$ となり有理数ですが、$x$ と $y$ は無理数です。

したがって、$xy$が有理数であることは、$x$と$y$がともに有理数であるための必要条件であるが十分条件ではありません。

(3) $m$ と $n$ がともに奇数 $\implies 3mn$ が奇数 は真です。奇数と奇数の積は奇数であり、奇数に奇数をかけても奇数です。3も奇数なので、$3mn$は奇数となります。

$3mn$ が奇数 $\implies m$ と $n$ がともに奇数 は真です。もし、$m$ または $n$ が偶数であるとすると、$3mn$ は偶数になってしまいます。

したがって、$m$ と $n$ がともに奇数であることは、$3mn$ が奇数であるための必要十分条件です。

3. 最終的な答え

ア: (c)

イ: (b)

ウ: (a)