複素数の計算を行い、結果を $a + bi$ の形で表す問題です。具体的には、複素数の足し算、引き算、掛け算、2乗、そして割り算を計算します。

1. 問題の内容

複素数の計算を行い、結果を $a + bi$ の形で表す問題です。具体的には、複素数の足し算、引き算、掛け算、2乗、そして割り算を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $(2 + 5i) + (3 - 7i)$

実部と虚部をそれぞれ足し合わせます。

$2 + 3 = 5$

$5i - 7i = -2i$

(2) $(1 - 3i) - (4 + 2i)$

実部と虚部をそれぞれ引き算します。

$1 - 4 = -3$

$-3i - 2i = -5i$

(3) $(2 - 3i)(1 + 2i)$

分配法則を使って展開します。

$2 * 1 + 2 * 2i - 3i * 1 - 3i * 2i = 2 + 4i - 3i - 6i^2$

$i^2 = -1$ なので、 $-6i^2 = -6 * (-1) = 6$

$2 + 4i - 3i + 6 = 8 + i$

(4) $(3 + i)^2$

$(3 + i)(3 + i)$ を展開します。

$3 * 3 + 3 * i + i * 3 + i * i = 9 + 3i + 3i + i^2$

$i^2 = -1$ なので、$9 + 6i - 1 = 8 + 6i$

(5) $\frac{1 - i}{3 + i}$

分母の共役複素数 $3 - i$ を分子と分母にかけます。

$\frac{(1 - i)(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)}$

分子を展開すると、 $1 * 3 + 1 * (-i) - i * 3 - i * (-i) = 3 - i - 3i + i^2 = 3 - 4i - 1 = 2 - 4i$

分母を展開すると、 $3 * 3 + 3 * (-i) + i * 3 + i * (-i) = 9 - 3i + 3i - i^2 = 9 + 1 = 10$

$\frac{2 - 4i}{10} = \frac{2}{10} - \frac{4}{10}i = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i$

3. 最終的な答え

(1) $5 - 2i$

(2) $-3 - 5i$

(3) $8 + i$

(4) $8 + 6i$

(5) $\frac{1}{5} - \frac{2}{5}i$