行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$、行列 $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の問いに答える。 (1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めよ。 (2) $YB = A$ を満たす行列 $Y$ を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$、行列 $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の問いに答える。

(1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めよ。

(2) $YB = A$ を満たす行列 $Y$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める。

$A$ の行列式 $|A| = (3 \times -1) - (0 \times 2) = -3 \neq 0$ なので、$A$ は逆行列を持つ。

$A$ の逆行列 $A^{-1}$ は、

$A^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{2}{3} & -1 \end{pmatrix}$

$AX = B$ の両辺に左から $A^{-1}$ をかけると、

$A^{-1}AX = A^{-1}B$

$IX = A^{-1}B$

$X = A^{-1}B$

よって、

$X = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{2}{3} & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \times 3 + 0 \times (-1) & \frac{1}{3} \times (-1) + 0 \times 2 \\ \frac{2}{3} \times 3 + (-1) \times (-1) & \frac{2}{3} \times (-1) + (-1) \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{3} \\ 3 & -\frac{8}{3} \end{pmatrix}$

(2) $YB = A$ を満たす行列 $Y$ を求める。

$B$ の行列式 $|B| = (3 \times 2) - (-1 \times -1) = 6 - 1 = 5 \neq 0$ なので、$B$ は逆行列を持つ。

$B$ の逆行列 $B^{-1}$ は、

$B^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix}$

$YB = A$ の両辺に右から $B^{-1}$ をかけると、

$YBB^{-1} = AB^{-1}$

$YI = AB^{-1}$

$Y = AB^{-1}$

よって、

$Y = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \times \frac{2}{5} + 0 \times \frac{1}{5} & 3 \times \frac{1}{5} + 0 \times \frac{3}{5} \\ 2 \times \frac{2}{5} + (-1) \times \frac{1}{5} & 2 \times \frac{1}{5} + (-1) \times \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $X = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{3} \\ 3 & -\frac{8}{3} \end{pmatrix}$

(2) $Y = \begin{pmatrix} \frac{6}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}$