3点 $P(p, 6, -12)$, $Q(-1, -2, 2)$, $R(3, r, -5)$ が一直線上にあるとき、$p$ と $r$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3点 $P(p, 6, -12)$, $Q(-1, -2, 2)$, $R(3, r, -5)$ が一直線上にあるとき、$p$ と $r$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

3点が一直線上にあるということは、ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{QR}$ が平行であることを意味します。したがって、ある実数 $k$ が存在して、$\overrightarrow{QR} = k\overrightarrow{PQ}$ と表すことができます。

まず、ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{QR}$ を求めます。

$\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} -1 - p \\ -2 - 6 \\ 2 - (-12) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - p \\ -8 \\ 14 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{QR} = \begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ r - (-2) \\ -5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ r + 2 \\ -7 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{QR} = k\overrightarrow{PQ}$ より、以下の式が成り立ちます。

$\begin{pmatrix} 4 \\ r + 2 \\ -7 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} -1 - p \\ -8 \\ 14 \end{pmatrix}$

このベクトル方程式は、以下の3つの式に分解できます。

$4 = k(-1 - p)$ ... (1)

$r + 2 = -8k$ ... (2)

$-7 = 14k$ ... (3)

式(3)から、$k = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$ がわかります。

この値を式(1)と(2)に代入します。

式(1)より、$4 = -\frac{1}{2}(-1 - p)$

$4 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}p$

$8 = 1 + p$

$p = 7$

式(2)より、$r + 2 = -8(-\frac{1}{2})$

$r + 2 = 4$

$r = 2$

3. 最終的な答え

$p = 7$, $r = 2$